7.1. Общая характеристика математических методов анализа

Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа, повышает эффективность анализа деятельности пред­приятий и их подразделений. Это достигается за счет сокраще­ния сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислени­ями, постановки и решения новых многомерных задач анали­за, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.

Применение математических методов в экономическом анализе деятельности предприятия требует:

системного подхода к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между раз­личными сторонами деятельности предприятий; в этих услови­ях сам анализ все более приобретает черты системного в кибер­нетическом смысле слова;

разработки комплекса экономико-математических моде­лей, отражающих количественную характеристику экономи­ческих процессов и задач, решаемых с помощью экономичес­кого анализа;

совершенствования системы экономической информации о работе предприятий;

наличия технических средств (ЭВМ и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;

организации специального коллектива аналитиков, состо­ящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.

Сформулированная математически задача экономического анализа может быть решена одним из разработанных матема­тических методов. На рис. 2 представлена примерная схема основных математических методов, по которым ведутся рабо­ты для использования их в анализе хозяйственной деятель­ности предприятий и объединений. Признаки классификации экономико-математических методов в схеме в значительной мере условны. Например, задачи управления запасами могут решаться , методами математического программирования и с применением теории массового обслуживания. Сетевое планирование и управление могут использовать самые различ­ные математические методы. Понятие «исследование опера­ций» иногда трактуется настолько широко, что охватывает все экономико-математические методы.

Приведенная схема еще не является классификатором эко­номико-математических методов, поскольку она составлена безотносительно к какому-либо классификационному призна­ку. Схема отражает современное состояние разработки прин­ципов и конкретных форм использования математики и других точных наук для решения экономических задач.

Методы элементарной математики используются в обыч­ных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, раз­работке планов, проектов, при балансовых расчетах и т. д. Приемы такого анализа даны в предшествующих главах.

Выделение методов классической высшей математики на схеме обусловлено тем, что они применяются не только в рам­ках других методов, например методов математической статистики и математического программирования, но и отдельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических по­казателей может быть осуществлен с помощью дифференциро­вания и интегрирования.

Широкое распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики. Эти методы применяют­ся в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, по­вторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозирова­нии поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы — это практически единственный инструмент исследова­ния. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы мно­жественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы распределения, вы­борочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсион­ный, ковариационный, спектральный, компонентный, фактор­ный виды анализа, изучаемые в курсах теории статистики.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех обла­стей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического яв­ления или процесса с помощью научной абстракции, отраже­ния их характерных черт. Наибольшее распространение в сов­ременной экономике получил метод анализа экономики «за­траты — выпуск». Это матричные (балансовые) модели, стро­ящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее ком­пактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации — главные особенности матричных моделей. Это важно при создании систем механизированной обработки данных, при планировании производства продукции с исполь­зованием ЭВМ.

Математическое программирование — быстроразвивающийся раздел современной прикладной математики. Методы математического программирования — основное средство ре­шения задач оптимизации производственно-хозяйственной Деятельности. По своей сути эти методы — средство плано­вых расчетов. Ценность их для экономического анализа вы­полнения бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять ли­митирующие группк оборудования, виды сырья и материа­лов, получать оценки дефицитности производственных ресур­сов и т. п.

Под исследованием операций понимаются разработка ме­тодов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятель­ность предприятий. Целью является такое сочетание структур­ных взаимосвязанных элементов систем, которое в наиболь­шей степени отвечает задаче получения наилучшего экономи­ческого показателя из ряда возможных.

Теория игр как раздел исследования операций — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сто­рон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания исследует на основе те­ории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Так, любое из структурных подразделений промышленного предприятия мо­жно представить как объект системы обслуживания.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых яв­лений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Одна­ко в своей совокупности множество таких требований подчи­няется определенным статистическим закономерностям, коли­чественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика анализирует экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения ин­формации в них. Наибольшее распространение в экономи­ческом анализе получили методы моделирования и системного анализа.

В ряде случаев приходится находить решение экстремаль­ных задач при неполном знании механизма рассматриваемого явления. Такое решение отыскивается экспериментально.

В последние годы в экономической науке усилился интерес к формализации методов эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию. Эвристические методы (решения) — это неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на ос­нове интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специ­алистов и т. д.

Для анализа производственно-хозяйственной, коммерчес­кой деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только раз­рабатываются в теории экономического анализа. В учебнике рассматриваются основные экономико-математические мето­ды, получившие уже применение в практике экономического анализа.

Применение того или иного математического метода в эко­номическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованную классификацию методов и задач анализа.

По классификационному признаку оптимальности все эко­номико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и неоптимизационные. Если метод или задача позволяет искать решение по заданному критерию оптимальности, то этот метод относят в группу оптимизационных методов. В случае, когда поиск решения ведется без критерия оптимальности, соответствующий метод относят к группе неоптимизационных методов.

По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. Если алгоритм метода позволяет получить только единствен­ное решение по заданному критерию оптимальности или без него, то данный метод относят к группе точных методов. В случае, когда при поиске решения используется стохастичес­кая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, используемый метод относят к группе приближенных методов. К группе приближенных методов от­носят и такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.

Таким образом, используя только два признака классифи­кации, все экономико-математические методы делятся на че­тыре группы: 1) оптимизационные точные методы; 2) оптими­зационные приближенные методы; 3) неоптимизационные точ­ные методы; 4) неоптимизационные приближенные методы.

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам от­носятся отдельные методы математического программирова­ния, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы. К неоп­тимизационным точным методам относятся методы элемен­тарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся метод статистических ис­пытаний и другие методы математической статистики.

В схеме (см. рис. 2) были представлены укрупненные группы экономико-математических методов, отдельные ме­тоды из этих групп используются для решения различных задач — как оптимизационных, так и неоптимизационных; как точных, так и приближенных.

Большое значение в анализе хозяйственной деятельности имеет группировка методов (задач) балансовых и факторных. Балансовые методы — это методы анализа структуры, пропорций, соотношений. Некоторые из приемов балансового метода анализа приводились выше,

Экономический анализ — это прежде всего факторный анализ (в широком смысле слова, а не только в виде стохасти­ческого факторного анализа).

Под экономическим факторным анализом понимаются по­степенный переход от исходной факторной системы (резуль­тативный показатель) к конечной факторной системе (или наоборот), раскрытие полного набора прямых, количественно измеримых факторов, оказывающих влияние на изменение результативного показателя.

Рассмотрим примерную классификацию задач факторного анализа работы предприятий с точки зрения использования математических методов (рис. 2).

При прямом факторном анализе выявляются отдельные факторы, влияющие на изменение результативного показателя или процесса, устанавливаются формы детерминированной (функциональной) или стохастической зависимости между ре­зультативным показателем и определенным набором факто­ров и, наконец, выясняется роль отдельных факторов в измене­нии результативного экономического показателя.

Постановка задачи прямого факторного анализа распрост­раняется на детерминированный и стохастический случай.

Пусть у =f(х₁) — некоторая функция, характеризующая из­менение результативного показателя или процесса; х1, х₂,... xn , — факторы, от которых зависит функция f(х₁). Задана функци­ональная детерминированная форма связи изучаемого показа­теля у с набором факторов х_1, х₂, ..., xn : у =f(х₁, х₂, ..., xn). Пусть показатель у получил приращение (Δу) за анализируе­мый период. Требуется определить, какой частью численное приращение функции у = f(х₁, х₂,.... х_п) обязано приращению каждого аргумента (фактора). Сформулированная таким об­разом задача есть постановка задачи прямого детерминиро­ванного факторного анализа.

Примерами прямого, детерминированного, факторного анализа являются: анализ влияния производительности труда и численности работающих на объем произведенной продук­ции (у — объем продукции; х, z — факторы, задана функ­циональная форма связи у=x*г); анализ влияния величи­ны прибыли, стоимости основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств на уровень рентабельности (у — уровень рентабельности; х, z, v — соответствующие факторы.

Детализация факторов может быть продолжена и дальше. Закончив ее, решают обратную задачу факторного анализа, синтезируя результаты исследования для характеристики ре­зультативного показателя у. Такой метод исследования назы­вается цепным статическим методом факторного анализа.

При применении цепного динамического факторного ана­лиза для полного изучения поведения результативного показа­теля недостаточно его статического значения; факторный ана­лиз показателя проводится на различных интервалах дробле­ния времени, на которых исследуется показатель.

Экономический факторный анализ может быть направлен на выяснение действия факторов, формирующих результаты хозяйственной деятельности, по различным источникам про­странственного или временного происхождения.

Анализ динамических (временных) рядов показателей хо­зяйственной деятельности, расщепление уровня ряда на его составляющие (основную линию развития — тренд, сезонную, или периодическую составляющую, циклическую составляю­щую, связанную с воспроизводственными явлениями, случай­ную составляющую)—задача временного факторного анализа.

Классификация задач факторного анализа упорядочивает постановку многих экономических задач, позволяет выявить общие закономерности в их решении. При исследовании слож­ных экономических процессов возможна комбинация поста­новки задач, если последние не относятся целиком к какому-либо типу, указанному в классификации.