2. Что называют полигоном вариационного ряда? Что называют гистограммой частот (частостей) вариационного ряда? Что называют кумулятой вариационного ряда?

Полигон частот(вариационного ряда) представляет собой ломаную линию, в которой концы отрез­ков прямой имеют координаты (x_i, m_i), где x_i – координата середины i-го интервала.

Гистограмма частот (частостей) вариационного ряда – это графическое представление выборки, где по оси абсцисс (ОХ) отложены величины интервалов, а по оси ординат (ОУ) – величины частот m_i, попадающих в данный i-й интервал. При увеличении до бесконечности размера выборки выборочные функции распределения превращаются в теоретиче­ские: гистограмма превращается в график плотности распределения.

Гистограмма используется для графического представления распределений непрерывно варьирующих признаков и состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников, как показано на рис. 2.1. Основание каждого прямоугольника равно ширине интервала группировки, а высота его такова, что площадь прямоугольника пропорциональна частоте (или частости) попадания в данный интервал. Если ряд безинтервальный, то ширина всех столбцов выбирается произвольной, но одинаковые. Таким образом, высоты прямоугольников должны быть пропорциональны величинам

,                                                                    (2.6)

где n_i — частота i-го интервала группировки; h_i — ширина i-го интервала группировки.

На графике гистограммы основание прямоугольников откладывается по оси абсцисс (x), а высота — по оси ординат (у) прямоугольной системы координат.

      Однако в тех случаях, когда ширина всех интервалов группировки одинакова, вид гистограммы не изменится, если по оси ординат откладывать не величины р_i, а частоты интервалов n_i.

Рис. 2.1

Кумулята частот (кумулятивная кривая) представляет собой кривую накопленных частот. Накопленная частота интервалов – это число, полученное последовательным суммированием частот в направлении от первого интервала к последнему. Пусть x некоторое число. Тогда количество данных , значения которых меньше x, называется накопленной частотой: .

Для интервальных данных ломаная линия начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов и накопленным частотам.

Кумулята относительных частот отличается тем, что накапливаются относительные частоты: , где m_{i -} - частота интервалов.

3. Дайте определение средней арифметической вариационного ряда. Сформулируйте ее свойства. Дайте определение моды и медианы дискретного вариационного ряда. Дайте определение дисперсии вариационного ряда, сформулируйте ее свойства. Дайте определение среднего квадратического отклонения вариационного ряда. Дайте определение коэффициента вариации вариационного ряда.

Чаще всего в математической статистике употребляются такие характеристики положения, как среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое вариационного ряда, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.

      Определение. Среднее арифметическое вариационного ряда – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).

      Если воспользоваться геометрической интерпретацией, то среднее арифметическое можно определить как точку на оси х, которая является абсциссой центра масс гистограммы.

      Среднее принято обозначать той же буквой, что и варианты выборки, с той лишь разницей, что над буквой ставится символ усреднения — черта. Например, если обозначить исследуемый признак через X, а его числовые значения — через x_i, то среднее арифметическое имеет обозначение .

      Среднее арифметическое, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

      Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по следующей формуле:

                                                 (3.1)

где n — объем выборки; х_i — варианты выборки.

Если данные сгруппированы, то

                                          (3.2)

где n — объем выборки; k — число интервалов группировки; n_i — частота i-ого интервала; х_i — срединное значение i-ого интервала.

Среднее арифметическое – величина того же наименования, что и значения признаков.

      Нахождение среднего арифметического непрерывного вариационного ряда осложняется если крайние интервалы не замкнуты (то есть имеют вид “менее 10” ”более 60”). В этом случае считается, что ширина первого интервала равна ширине второго, а ширина последнего – ширине предпоследнего.

      Среднее арифметическое, вычисленное по формуле (3.2), называют также взвешенным средним, подчеркивая этим, что в формуле (3.2) x_i, суммируются с коэффициентами (весами), равными частотам попадания в интервалы группировки.