1.1 Временной ряд и его структура

Временным рядом называют ряд наблюдаемых значений исследуемых переменных, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени, хотя возможно упорядочение и по какому-либо другому параметру. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения [6].

Различают два вида временных рядов. Пусть измерение некоторых величин (температуры, напряжения и т.д.) производится непрерывно, по крайней мере, теоретически. При этом наблюдения можно фиксировать в виде графика. Но даже в том случае, когда изучаемые величины регистрируются непрерывно, практически при их обработке используются только те значения, которые соответствуют дискретному множеству моментов времени. Следовательно, если время измеряется непрерывно, временной ряд называется непрерывным, если же время фиксируется дискретно, т.е. через фиксированный интервал времени, то временной ряд дискретен. В дипломной работе в дальнейшем мы будем иметь дело только с дискретными временными рядами. Дискретные временные ряды получаются двумя способами:

выборкой из непрерывных временных рядов через регулярные промежутки времени, т.е. в определенный момент времени (например, численность населения, величина собственного капитала фирмы, объем денежной массы, курс акции), - такие временные ряды называются моментными;

накоплением переменной в течение некоторого периода времени, т.е. за определенный момент времени (например, объем производства какого-либо вида продукции, количество осадков, объем импорта), - в этом случае временные ряды называются интервальными.

Также в теории и реже в практике рассматриваются производные временные ряды, в которых наблюдаемые значения являются производными величинами, т.е. средними или относительными показателями.

В эконометрии принято моделировать временной ряд как случайный процесс, называемый также стохастическим процессом, под которым понимается статистическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятностей. Случайный процесс - это случайная последовательность. Временной ряд - это лишь одна частная реализация такого теоретического стохастического процесса:

где - длина временного ряда.

Временной ряд вида (1.1) также часто неформально называют выборкой, хотя, по формальному определению, выборка должна состоять из независимых, одинаково распределенных случайных величин.

Обычно стоит задача по данному ряду сделать какие-то заключения о свойствах лежащего в его основе случайного процесса, оценить параметры, т.е. исследовать характеристики структуры временного ряда, а также сделать прогнозы на основе прошлых и настоящих значений временного ряда и т.п.

Возможные значения временного ряда в данный момент времени описываются с помощью случайной величины и связанного с ней распределения вероятностей . Тогда наблюдаемое значение временного ряда в момент рассматривается как одно из множества значений, которые могла бы принять случайная величина в этот момент времени. Следует отметить, однако, что, как правило, наблюдения временного ряда взаимосвязаны, и для корректного его описания следует рассматривать совместную вероятность .

Для удобства можно провести классификацию случайных процессов и соответствующих им временных рядов на детерминированные и случайные процессы (временные ряды). Детерминированным называют процесс, который принимает заданное значение с вероятностью единица. Например, его значения могут точно определяться какой-либо математической функцией от момента времени . Обычно, когда идет речь о случайном процессе и случайном временном ряде, то подразумевается, что он не является детерминированным.

Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационарные процессы. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс не стационарен, если эти условия нарушаются.

Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы. Это такие процессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распределение. Как правило, термин "временной ряд" сам по себе подразумевает, что этот ряд является одномерным (скалярным).

При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбинироваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие или компоненты, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Различают два вида компонент: систематические (это результат воздействия на временной ряд постоянно действующих факторов) и случайные (это случайный шум или ошибка, нерегулярно воздействующие на ряд).

Перечислим наиболее важные компоненты. К систематическим относятся следующие:

тенденция - соответствует медленному изменению, происходящему в некотором направлении, которое сохраняется в течение значительного промежутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным движением;

циклические колебания - это более быстрая, чем тенденция, квазипериодическая динамика, выходящая за рамки одного периода и в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Промежуток времени между двумя вершинами или впадинами считается длиною цикла. На циклические компоненты оказывают влияние трудно идентифицируемые формальными методами факторы (изменение политической ситуации, прирост или истощение ресурсов и др.). Наиболее часто цикл связан с флуктуациями экономической активности;

сезонные колебания - соответствуют изменениям, которые происходят регулярно в течение года, недели или суток, т.е. внутри одного выделенного периода. Они связаны с сезонами и ритмами человеческой активности;

календарные эффекты - это отклонения, связанные с определенными предсказуемыми календарными событиями, такими, как праздничные дни, количество рабочих дней за месяц, високосный год и т.п.

Систематические компоненты могут одновременно все присутствовать во временном ряде.

Случайные компоненты включают в себя следующие виды:

случайные флуктуации - беспорядочные движения относительно большой частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую составляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).

выбросы - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.

структурные сдвиги - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер и меняющие тенденцию.

Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные виды таких движений почти в чистом виде. Но большая часть их имеет очень сложный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания, так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуации. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное рассмотрение отдельных компонент.

Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти составляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статистическую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти составляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оценок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели является сложной задачей. В частности, из содержательного описания не всегда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд может быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные колебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных или с помощью стохастического процесса определенного вида. Компоненты временного ряда могут входить в него аддитивно или мультипликативно, либо в смешенном виде. Более того, далеко не все временные ряды имеют достаточно простую структуру, чтобы можно было разложить их на указанные составляющие. Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компоненты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факторами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных фильтров.