11.4. Прогнозирование результатов деятельности с помощью нечетких регрессионных моделей

Современная эпоха характеризуется чрезвычайно быстрыми и глубокими изменениями социальных и экономических явлений, в результате чего очень трудно предсказать их развитие в будущем на основании формальной логики и традиционных математических методов, основанных на точных данных. Экономическая действи­тельность ставит перед исследователями целый ряд проблем, часто неразрешимых при использовании самых современных методов эко­номического анализа и аппарата классической математики.

Исследование экономических явлений в условиях изменчивости внешней среды и неопределенности развития событий требует со­здания эффективных методик анализа, пригодных для оценки и прогнозирования результатов деятельности в такой ситуации.

В настоящее время прогнозирование экономических явлений базируется преимущественно на детерминированных связях и точ­ных данных. Однако эти методы малоэффективны, потому что дей­ствительность далеко не всегда соответствует детерминированным * схемам. Применение вероятностных методов математической ста­тистики также не всегда эффективно, если используются субъектив­ные данные. Методы, направленные на получение точного ответа в условиях неоднозначно определенных параметров, присущих рын­ку, либо дают необъективное решение, либо существенно усложня­ют его поиск, увеличивая временные и вычислительные затраты.

Большую помощь в решении этих задач в условиях неопреде­ленности оказывают методы, основанные на теории нечетких мно­жеств, которая, по мнению A.M.Хил Лафуенте, способна описать неопределенную среду.

Теория нечетких множеств является частью математики, кото­рая ориентирует на обработку субъективного и неопределенного. Это попытка рассмотреть явления таким образом, как они представля­ются в реальной жизни, не деформируя их для того, чтобы сделать точными и четкими.

Возможности теории нечетких множеств очень широки. С ее помощью можно составить кратко- и долгосрочные прогнозы того или иного явления в условиях неопределенности и быстрой измен­чивости внешней среды.

Практическое использование нечеткой логики и теории размы­тых множеств позволяет развивать традиционные методы прогно-

258

259

зирования, приспосабливая их к новым потребностям учета не­определенности будущего. В частности, на основании теории не­четких множеств можно построить нечеткие регрессионные модели, используемые для прогнозирования уровня исследуемых показателей.

Процедура построения нечетких регрессионных моделей суще­ственно не отличается от процедуры разработки четких моделей. Требуются достаточная репрезентативность выборки и преемствен­ность данных, обоснование формы уравнения связи и т.д. Задача анализа — найти такое уравнение связи, которое бы наиболее точно описывало связи между значениями факторов и результативным по­казателем с учетом того, что данные связи размытые, нежесткие, т.е. коэффициентами уравнения регрессии являются нечеткие числа.

Чтобы понять сущность нечеткой регрессионной модели, рас­смотрим классический пример — линейную регрессионную тре­угольную модель. Предположим, что имеется ряд факторов х,, х₂, .-., х_п, определяющих результативный показатель К, а также выборки данных из т наблюдений о значении факторов и иссле­дуемого результата, которые могут быть четкими, как в случае тра­диционного регрессионного анализа, и размытыми (например, многовариантными экспертными оценками). Требуется опреде­лить такую функцию i^r(x,,x₂, ...,x_n) = a_lx_l + a^c₂ + ... + a_lpc_n^ra_Q, где й₀, о,, а₂,..., а_п — нечеткие симметричные доверительные тройки, которая бы наиболее точно описывала значения результативного показа геля.

Каждый нечеткий коэффициент будет иметь вид a_t = {а_{-Ь_р д_;, cij + bj), где a_t — наиболее вероятное значение коэффициента, а ве­личина bj описывает ширину размытости коэффициента. Тогда искомая функция ^при каждом наборе значений факторов от 1 до т также будет описываться в виде треугольного симметричного нечеткого числа, внутри которого должно располагаться реальное значение результата, соответствующее данному набору факторов.

Формальное описание модели можно представить следующим образом:

значения результата У в интервал возможных значений F;

Ь; > 0, для V ■ = 1, п — ширина интервала, не может быть отрица­тельной.

Необходимо найти такие значения й_;и^., чтобы ширина полу­чаемого нечеткого коридора, описывающего реальные значения исследуемого результативного признака, была минимальной по сумме всех измерений:

Найденное уравнение нечеткой регрессии в отличие от уравне­ния четкой регрессии включает в себя три составляющие:

1. функцию, содержащую минимальные коэффициенты, зна­чения которой располагаются не выше любого из значений ап­проксимируемого параметра (К,);

2. функцию, содержащую максимальные коэффициенты и рас­полагающуюся не ниже исследуемого параметра (Г₃);

3. функцию, определяющую середину возможных значений исследуемого параметра (Y₂).

Между функциями (1) и (3) находятся все значения исследу­емого параметра. Именно по этой причине нечеткую регрессию часто называют «нечетким коридором».

Основываясь на данной теории и используя встроенную функ­цию «Поиск решения» в Excel, нами разработана нечеткая регрес­сионная модель для прогнозирования уровня издержкоемкости продукции. В качестве исходного материала использованы данные за последние 12 месяцев, предшествующие прогнозному периоду. Следующий квартал будет тестовым периодом для проверки на­дежности прогноза.

Основным критерием качества построения нечеткого коридора являются абсолютная и относительная оценки уровня его неопре­деленности (размытости). В случае треугольной нечеткой регрессии, которая нами использовалась, в качестве абсолютной оценки может выступать средняя ширина коридора. В качестве относительной — соотношение ширины нечеткого числа, описывающего прогнозное значение искомого параметра, к его среднему значению. В нашем примере (табл. 11.4) средняя ширина нечеткого коридора — 6,08.

Дополнительным критерием качества построения нечеткой рег­рессии является равномерность распределения значений искомо­го параметра внутри нечеткого коридора. Для достижения такой равномерности возможно введение дополнительного ограничения на число точек, лежащих выше середины нечеткого коридора. Воз­можно также использование ограничения на уровень размытости свободного коэффициента. При снижении размытости последне­го достигается снижение гипотетической ошибки прогноза от со-

260

261

Таблица 11.4

Коэффициенты нечеткой регрессионной модели издержкоемкости продукции

лутствующего воздействия побочных факторов, которые, как пра­вило, не являются определяющими. Применение данного ограни­чения не понадобилось, так как уровень размытости свободных коэффициентов в полученном уравнении регрессии равен нулю.

Как показывают рис. 11.2 и данные табл. 11.5, высокая точностьполученной модели при проверке на тестовом отрезке подтверди­лась, так как реальные значения искомых параметров попали в коридор, описанный нечеткой регрессией. Причем в последние шесть месяцев фактический их уровень совпадает с серединой не­четкого коридора. Это подтверждает довольно высокий уровень достоверности результата.

Месяц 9 10 11 12 13 14 15 16

Рис. 11.2. Распределение искомого параметра в нечетком коридоре

Таблица 11.5

Результаты анализа издержкоемкости продукции

Следовательно, полученную модель можно использовать для прогнозирования издержкоемкости продукции. Для этого прогноз­ные значения факторов нужно подставить в полученное уравнение и рассчитать левое, среднее и правое значения результативного показателя на следующий период:

К, - (2,2; 2,9; 3,6)х, + (-0,071; -0,087; -0,103)х, +

+ (-0,045; -0,06; -0,075)х₃ + 102,0;

Y_x (левое) = 2,2 ■ 0,7 - 0,071 ■ 143 - 0,045 • 75 + 102,0 - 83,6%;

У, (среднее) = 2,9 ■ 0,7 - 0,087 143 - 0,060 ■ 75 + 102,0 = 87,1%;

. К, (правое) = 3,6 ■ 0,7 - 0,103 143 - 0,075 ■ 75 + 102,0 = 90,6%.

Полученное уравнение, описывающее взаимосвязь между ис­следуемыми факторами и издержкоемкостью продукции, позво­ляет делать предположения об интервале возможных изменений последней с возрастанием степени достоверности к середине не­четкого коридора (функции Y_}), что значительно повышает анали­тический потенциал регрессионного анализа. В данном случае можно предполагать, что издержкоемкость продукции будет коле­баться в интервале от 83,6 до 90,6%. Середина данного интервала

В62

263

'Д

(87,1 %) отражает наиболее вероятное ее значение в первом месяце прогнозного периода.

Таким образом, регрессионные модели, построенные на основе теории нечетких множеств, обладают существенными преимуще­ствами по сравнению с традиционными, поскольку позволяют прогнозировать результат в рамках заданного коридора.

Вопросы для контроля знаний

1. Каковы основные задачи и этапы перспективного анализа?

2. Какие основные методы используются в перспективном ана­лизе?

3. В чем сущность эвристических методов анализа?

4. Каковы основные разновидности метода экспертных оце­нок?

5. В чем сущность метода экстраполяции?

6. Каковы основные способы выявления тренда в рядах динами­ки?

7. Какую роль играют корреляционно-регрессионный и дискри-минантный анализ в прогнозировании исследуемых явле­ний?

8. Каковы роль и задачи анализа чувствительности результатов деятельности к управленческим воздействиям и факторам внешнего характера?

9. Какова в общих чертах методика анализа чувствительности?

10. В чем сущность теории нечетких множеств и какова методика построения нечетких регрессионных моделей?

Задания для закрепления материала

1. На основании приведенных данных определите прогнозный уровень фондоотдачи на следующие три года, используя сред­негодовой темп абсолютного ее прироста и среднегодовой темп роста, а также метод выявления тренда с помощью регресси­онного анализа.

На основе приведенных данных дайте экономическую интер­претацию уравнения связи, оцените его надежность, полноту и точность и рассчитайте прогнозный уровень рентабельности (У) на следующий год:

Y_x= 5,6 + 0,062х, + 0,54х, + 0,11х₃ - 0,06х₄.

.Множественный коэффициент детерминации D =0,87. Расчетное значение критерия Фишера / = 92,6, объем выбор­ки-50.

Средняя ошибка аппроксимации ё = 3,7. Коэффициент Дарбина—Уотсона DW = 2,5.

На основании приведенных данных определите, как изменят­ся прибыль и рентабельность продаж за счет:

а) увеличения объема реализованной продукции на 10%;

б) изменения структуры реализованной продукции, если пла­ нируется долю первого изделия увеличить на 5%, а второго, соответственно, уменьшить на 5%.

Выручка от реализации продукции — 5000 тыс. руб. Постоянные издержки предприятия — 1500 тыс. руб.

Рассчитайте средневзвешенную стоимость капитала {WACC) и его чувствительность к изменению структуры капитала (пла­нируется долю заемного капитала увеличить до 40%).

265

5. Определите текущую стоимость бескупонной облигации но­миналом 10 000 руб., срок погашения которой через пять лет, ставка банковского процента — 12% годовых. Как изменится ее стоимость, если ставка банковского процента снизится до 10%?