Материалы лекции. Параметрический критерий Стьюдента для сравнения независимых выборок

Назначение критерия

Критерий Стьюдента применяется:

А) для сравнения любых двух параметров распределений или проверки гипотез о случайности различий между параметрами (Н₀);

Б) для интервального оценивания (является ли параметр, полученный на выборочной совокупности, параметром генеральной совокупности);

В) для оценки статистической значимости мер связи (коэффициентов корреляции).

Ограничения в использовании критерия:

1. Критерий Стьюдента применяется для сравнения параметров признаков, измеренным по интервальной или пропорциональной шкалам.

2. Распределение признака должно быть нормальным.

3. Ограничений по объему выборки нет

Алгоритм расчета критерия для независимых выборок:

1. Для каждой выборки отдельно рассчитываются параметры распределений. Таким образом, мы имеем:

— среднее арифметическое значение признака в выборке 1;

— среднее арифметическое значение признака в выборке 2;

σ₁ — стандартное отклонение признака в выборке 1;

σ₂ — стандартное отклонение признака в выборке 2;

N₁ — объем (количество испытуемых) выборки 1;

N₂ — объем (количество испытуемых) выборки 2.

А) Выборки разного объема N₁≠ N₂

2) Вычисляется величина, характеризующая различия изменчивости результатов в двух выборках:

3) Находим расчетное (эмпирическое) значение критерия Стьюдента по следующей формуле:

4) Для того, чтобы найти по таблице критических значений табличное значение критерия, находим число степеней свободы по формуле:

Б) Выборки одинакового объема N₁= N₂ = N (после расчета параметров распредлений можно сразу вычислить расчетное значение критерия)

2) Находим расчетное (эмпирическое) значение критерия Стьюдента по следующей формуле:

3) Для того, чтобы найти по таблице критических значений табличное значение критерия, находим число степеней свободы по формуле:

В) Правило вывода (правило принятия решения)

Критические (табличные) значения критерия Стьюдента находятся по таблице критических значений для этого критерия в зависимости от числа степеней свободы.

Если , то Н₀ отвергается, то есть сравниваемые параметры (средние арифметические в данном случае) статистически различаются.

Если < , то Н₀ принимается, то есть сравниваемые параметры (средние арифметические в данном случае) статистически не различаются.

Возможны случаи, когда значимость различий между средними обусловлена не различием средних арифметических генеральных совокупностей, а различием их дисперсий. Результат сравнения средних в этом случае будет искажен. Поэтому при использовании критерия Стьюдента для сравнения средних арифметических рекомендуется всегда оценивать и расхождение между дисперсиями.

Сравнить дисперсии можно двумя способами:

А) для нормальных распределений большого объема можно использовать критерий Стьюдента и оценить различия между стандартными отклонениями.

,

где σ₁ и σ₂ — стандартные отклонения 1-й и 2-й выборок;

N₁ и N₂ — число испытуемых в 1-й и 2-й выборках.

Правило принятия решения:

Если , то различия между дисперсиями статистически значимы. Если , то дисперсии статистически не различаются.

Б) Для малочисленных выборок из нормально распределенной генеральной совокупности используется параметрический критерий Фишера.

Назначение критерия

Критерий Фишера применяется:

а) для сравнения двух дисперсий;

б) для проверки гипотезы о значимости коэффициентов детерминации;

в) для проверки гипотезы об однородности ряда средних арифметических значений.

Ограничения в использовании критерия: критерий применяется для сравнения признаков, измеренных в интервальной или пропорциональной шкале.

Критерий Фишера рассчитывается по следующей формуле:

,

где σ₁ и σ₂ — стандартные отклонения 1-й и 2-й выборок;

D₁ и D₂ — дисперсии в 1-й и 2-й выборках.

В формуле критерия Фишера в числитель дроби всегда ставится большая величина, то есть σ₁ > σ₂ или D₁ > D₂.

Правило принятия решения:

Расчетное значение критерия Фишера необходимо сравнить с критическим (табличным) значением (см. таблицу критических значений критерия Фишера), которое находится в зависимости от двух значений — числа степеней свободы для каждой выборки. Число степеней свободы находится по следующим формулам:

ν₁ = N₁ – 1 и ν₂ = N₂ – 1

Если F_расч. > F_{критич.}, то различия между дисперсиями статистически значимы. Если F_расч. ≤ F_{критич.}, то дисперсии статистически не различаются.

Статистически значимое различие дисперсий указывает на то, что генеральные совокупности, из которых взяты выборки, также имеют разные дисперсии. В этом случае рекомендуется при сравнении средних арифметических значений с помощью критерия Стьюдента вводить в критерий поправку по Снедекору.