4.3. Элементы финансовой математики для оценки недвижимости.

Профессиональная работа с недвижимостью требует знаний и умений при оценивании экономических последствий операций, совершаемых с недвижимостью. Практика нескольких столетий выработала для этого специальные методы, которые чаще всего называют «финансовой математикой». Основным предметом рассмотрения финансовой математики являются «шесть функций сложного процента» или «шесть функций денежные единицы».

В основе финансовых расчетов лежит «принцип неравномерности нынешних и будущих благ», называемый также проблемой «время – деньги». Будущие деньги дешевле сегодняшних не только из-за обесценивающей их инфляции, но, главным образом, из-за потери дохода, которого лишается инвестор, теряющий возможность вложить сегодня в дело будущие деньги.

Простейшие финансовые операции, производимые в инвестиционной деятельности, заключаются во вложении/заимствовании капитала на определенный период времени, а затем в получении/возврате увеличенного капитала. Логика этих операций представлена на рис. 4.1.

Настоящее

t

Будущее

Исходная сумма - PV Процентная ставка - г _t

Капитализация

Будущая сумма - FV

Текущая сумма - PV

Дисконтирование

Ожидаемый доход- FV Дисконтная ставка - d _t

Рис. 4.1. Основные финансовые операции.

93

PV (от англ. Present Value) - текущая стоимость. Синонимы -стоимость текущего момента времени, настоящая, реальная стоимость;

FV (от англ. Future Value) — будущая стоимость. Синонимы — наращенная, аккумулированная, капитализированная стоимость;

г _t - процентная ставка(если t = 1 год). Синонимы - процент, темп прироста, ставка процента, ставка доходности;

d _t - дисконтная ставка (если t = 1год). Синонимы - дисконт, ставка дисконтирования, учетная ставка.

Капитализация - процесс определения будущей стоимости денег по их текущей стоимости, т. е. процесс превращения PV в FV. Предполагается, что деньги удерживаются в деле в течение определенного времени, принося периодически процент, который накапливается и тоже приносит доход.

Дисконтирование - процесс определения текущей стоимости денег по будущему доходу от инвестиций, т. е. процесс превращения FV в PV.

Математическая связь между капитализацией и дисконтированием простая и задается формулами:

FV = PV+ r_t х PV = PV(1 + r_t);PV = FV-d_txFV = FV(l-d_t)- (4.3)

Из двух последних выражений путем несложных алгебраических преобразований легко получить:

FV-PV

rt =■> PV

rt = ——, dt = • (4.4)

1-dt 1 + dt

Из последних выражений видно, что всегда (кроме предельного случая: rt= dt = 0) имеет место rt > dt •

Как правило, в финансовых расчетах используется ставка rt, даже когда речь идет о дисконтировании. Таким образом, rt и dt отождествляются.

Причина в том, что ставка rt легко определяется по бухгалтерской отчетности, т.е. по прошлому и настоящему, чего нельзя сделать в отношении ставки dt •

Разница между rt и dt в штатной для экономики ситуации, когда доходность по инвестициям не превосходит 15 - 20%, невелика

94

Сегодняшние расчеты FV нужны лишь в качестве ориентиров при планировании инвестиций, а не как точные величины, по которым в будущем станут производиться расчеты между заинтересованными сторонами.

Если же экономика нестабильна, если имеет место высокая инфляция, если процентные ставки окажутся высокими (а разница между r_t и d_t большой), то в такой экономике любые расчеты становятся ненадежными, и при принятии решений, как показывает опыт, лучше опираться не на формальные методы, а на экспертные оценки – они точнее. Поэтому в обычной (нормальной) экономической ситуации допустимо считать, что r_t > d_t .

Следует также помнить, что инвестиции (затраты) всегда связаны с будущими доходами и в силу имманентно присущей будущему неопределенности с риском неполучения ожидаемого дохода. Доход, как правило, окажется либо больше, либо меньше прогнозируемого. Причины риска весьма разнообразны – экономические, технические, социальные, политические, природные, экологические и др.

Будущие доходы оцениваются по правилу сложного процента.

Сложный процент – это процент начисленный, как на основную сумму, так и на невыплаченные проценты, начисленные за предыдущий период.

При проведении финансовых расчетов используются шесть функций сложного процента:

99. Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма единицы) – FV₁ (Future value);

100. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период, фонд накопление капитала) – FVA₁ (future worth (value) of an annuity);

101. Фактор фонда возмещения – SFF₁ (Sinking fund factor);

102. Текущая (дисконтированная, настоящая) стоимость единицы – PV₁ (Present value);

103. Текущая стоимость аннуитета – PVA₁ (Present worth (value) of annuity);

104. Взнос на амортизацию единицы – IAO₁ (Installment of amortize one).

Первая функция – будущая стоимость денежной единицы.

Это фактор, используемый для расчета стоимости денежной единицы при условии, что последняя будет удерживаться в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Будущая стоимость денежной единицы рассчитывается по формуле:

FV1 = (1 + r)ⁿ,

(4.5)

95

где г - ставка процента;

п - количество периодов начислений. Она показывает, во сколько раз возрастет одна денежная единица за п периодов при ставке процента г. Если речь идет не об одной денежной единице, а величине PV, то:

FV = PVxFVi = PVx(l + r)ⁿ, (4.6)

Если начисление/взимание процентов производится не один раз в год, а несколько раз ш, например, ежеквартально (ш=4), ежемесячно (ш=12), то формула видоизменяется. По сложившейся практике заданная годовая процентная ставка в этом случае делится на m, а число периодов начисления процентов увеличивается в m раз, и формула принимает вид:

nxm

FV = PVx(l+ —) (4.7)

m

Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма удвоится. Очень просто решить эту задачу позволяет известное «правило 72-х».

Количество периодов, необходимых для удвоения первоначальной

суммы вычисляется как

72п =, (4.8)

г

где г задается в процентах (а не в долях единицы). Данное правило показывает точные результаты при значениях при значениях г: 3% < г < 18%.

Вторая функция - будущая стоимость аннуитета.

Многие финансовые операции имеют вид не разовых платежей, а серии регулярных выплат/доходов - арендные взносы, погашения долгосрочного кредита, получение процентов по облигациям, платежи в пенсионный фонд и т.д. Если эти платежи происходят через строго определенные промежутки времени, то такая серия называется аннуитетом.

Аннуитет - серия платежей, разделенных одинаковыми временными периодами.

Платежом (взносом) называется единовременный вклад (доход), производимый в каждом временном периоде. Он обозначается через РМТ (от англ. payment - платеж). Если платеж делается в конце платежного

96

периода, он называется обычным, а если в начале - авансовым. Чаще на практике встречается обычный платеж.

Формула будущей стоимости единичного аннуитета, как сумма членов геометрической прогрессии имеет вид:

FVA_l = <i+ -l. (4.9)

Г

Эту формулу также называют фондом накопления капитала, т.к. она показывает накопленную к концу п- го периода денежную сумму, при условии вложения в каждом периоде одной денежной единицы под г процентов.

Если платеж не единичный, а равен РМТ, то накопленная сумма к концу п - го периода будет:

(1 + г)^п-1FVA = PMT×FVAi = РМТ× . (4.10)

Если денежные платежи осуществляются не один раз в год, а m раз, то будущая стоимость аннуитета вычисляется по формуле:

n×m

(1+ —) -1

FVA = PMT× ^ш . (4.11)

г

m

Третья функция – фактор фонда возмещения капитала.

Часто необходимо знать, какой платеж нужно периодически вносить, чтобы к концу n- го периода времени накопить заданную сумму. Эта задача решается с помощью фактора фонда возмещения капитала SFF₁.

Фактором фонда возмещения называется величина периодического платежа, которая обеспечивает в течение n периодов при заданной ставке процента накопление денежной суммы капитала равной одной денежной единице.

Если в формуле 4.10 положить FVA = 1, PMT = SFF₁, то получим:

SFF₁ = ^r _n . (4.12)

(1+ r) -1

Если сравнить формулы 4.12 и 4.9, то легко увидеть, что FVA₁ = 1/SFF₁. Формула 4.9 показывает, сколько будет накоплено капитала, если в

97

течение п периодов времени вносить по одной денежной единице. А формула 4.12 показывает, какую долю денежной единицы нужно вносить в течение п периодов времени, чтобы накопить одну денежную единицу. Таким образом, величины FVAi и SFFi взаимно обратные.

Формула 4.12 позволяет ответить на вопрос о величине ежегодной суммы платежа РМТ, обеспечивающего накопление нужной суммы FVA:

РМТ = FVA× SFF 1 = FVA× . (4 13)

(l + r) n -l

В тех случаях, когда платежи делаются m раз в год в течение п лет, то формула 4.13 принимает вид:

г

РМТ = FVA× ^ . (4.14)

n_×m

(1+) -1 m

Четвертая функция - текущая стоимость денежной единицы.

Текущая (в настоящий момент времени) реальная стоимость одной денежной единицы (PVi), получаемой в конце п - го периода времени при известной доходности г, находится из формулы:

PVi =Ц. (4.15)

(1 + г)

Если нужно узнать текущую стоимость не одной, а FV денежных единиц, то формула 4.15 принимает вид:

PV = FV× pvi = FV× . (4.16)

(l + r) n

Разумеется, здесь предполагается, что ставка доходности г и ставка дисконтирования d равны. Вообще это неверно, но в эволюционно развивающейся экономике при доходности порядка 10 - 15% их можно считать равными. В этом случае PVi показывает, какую долю денежной единицы нужно положить на депозит в банк под г процентов годовых, чтобы в конце п- го периода эта доля превратилась в денежную единицу.

В тех случаях, когда проценты начисляются не один раз в год, а m раз, то формула 4.16 принимает вид:

PV = FV×pVi =FV× . (4.17)

^l n_×m

(1 + ) m

98

Пятая функция - текущая стоимость единичного аннуитета.

Часто бывает так, что необходимо текущую стоимость серии платежей, т.е. аннуитета. Например, решается вопрос об инвестировании некоторой суммы денег в актив, который будет приносить регулярный доход. Приобретать актив целесообразно в том случае, если текущая стоимость будущих доходов будет не меньше стоимости актива. Логика получения пятой функции сложного процента видна из формулы:

PVAi = ^"^^1 = . (4.18)

FVi r

Если начисление процентов происходит не один раз в году, а m раз, то формула 4.18 принимает вид:

-nxm

1-(1 + —)

PVAi = ^ш . (4.19)

г

m Если аннуитет не единичный, а регулярные платежи равны РМТ, то:

1-(1 + гГ

PVA = PVAi^х РМТ = РМТх

PVA = PVAi х РМТ = РМТх

-nxm Г

1-(1 +)

m

г m

(4.20)

Шестая функция – взнос на амортизацию капитала.

Эта функция применяется для определения величины платежа при амортизации кредита.

Амортизацией кредита называется погашение долга по кредиту в течение определенного периода времени. (Следует отличать различные значения слова «амортизация», например, «амортизация кредита» и «амортизация основных фондов»).

Часто план погашения кредита предусматривает возврат долга равными величинами через равные промежутки времени. Т.е. платежи по погашению кредита являются аннуитетами. Каждый такой платеж представляет собой сумму амортизации (погашения) основного долга и процентного платежа на остаток долга.

99

Легко понять, что понижающиеся процентные платежи из–за убывающего остатка долга должны компенсироваться возрастающей амортизацией основного долга, чтобы сумма оставалась постоянной.

Величина этой суммы в расчете на единицу долга определяется формулой:

IOA₁ = ^r _-n . (4.21)

1 - (1 + г)

Для случая не единичного долга, а долга величиной PV, формулы для платежей в случае начисления процентов один раз в год и m раз, соответственно будут:

г

1 - (1 + г)

г

РМТ = PVx ^ш

-nxm

(4.22)

1-0+)

m

Сведем шесть функций сложного процента в одну таблицу.

3

1 г

Я>ъ = — = SFFi =

^2 (1 + ^Г) "I

6

%

1 _ (р_х

Я>Ъ Я>2

г

1 - (1 + г)

Из таблицы видно, что из шести функций (они связаны между собой соотношениями <р_х х <^₄ = (р_г х (р_ъ = (р₅ х (р₆ = 1) первичными являются только

две (р_х и (р₂, определяющие будущую стоимость денежной единицы FVi и

единичного аннуитета FVAi

Четвертая и пятая функции, характеризующие текущую стоимость будущей денежной единицы PVi и единичного аннуитета PVA_b являются производными от первых двух:

100

1 (Oj

(p\ (p\

Третья и шестая функции, выражающие, как аннуитетным способом (т.е. с помощью регулярного денежного потока) накопить одну денежную единицу SFFi или рассчитаться с долгом в одну денежную единицу IAOi, тоже являются производными от первых двух:

1 (рл

<Рз = —, <Рв = — •

(Р₂ (Р₂

И последнее. Если платежи не являются обычными, т.е. происходят не в конце временного интервала, а являются авансовыми, а значит, производятся в начале каждого временного периода времени, то связь между будущими и текущими стоимостями в случае обычных и авансовых платежей определяются простыми формулами:

FУаван. = (1 + Г) X FУобычн. , РУаван. = (1 + г) X РУобыч. (4 .23)

Аналогичные соотношения имеют место для FVA и PVA:

FУАаван. = (1 + Г) X FУАобыч., РУАаван. = (1 + г) X РУАобыч. (4.24)

Контрольные вопросы и задания

105. Назовите типы ипотечных кредитов.

106. Что такое коэффициент ипотечной задолженности и ипотечная постоянная?

107. Какие вы знаете схемы ипотечного кредитования?

108. Что представляет собой ипотечный рынок?

109. В чем отличие понятий «инвестирование» и «финансирование»?

110. Формы привлечения средств для строительства объектов недвижимости.

111. Назовите шесть функций сложного процента.

112. Что такое капитализация?

113. Что такое дисконтирование?

114. Для чего используется первая функция сложного процента?

115. Для чего используется вторая функция сложного процента?

101

116. Для чего используется третья функция сложного процента?

117. Для чего используется четвертая функция сложного процента?

118. Для чего используется пятая функция сложного процента?

119. Для чего используется шестая функция сложного процента?

120. Вкладчик положил в банк 30 тыс. долл. под 12% годовых. Определите аккумулированную сумму через 4 года, если проценты банк будет начислять ежеквартально (m = 4) и ежемесячно (m = 12).

121. Молодожены решили накопить деньги на покупку жилья стоимостью 18 тыс. долл. Для этого они ежемесячно откладывают на счет 200 долл. Через сколько месяцев они накопят необходимую сумму, если ставка годовых – 12%?

122. Верны ли следующие утверждения?

1. Капитал, вложенный в недвижимость, увеличивает за годсвой размер на величину процента, определяемого через ставкупроцента.

123. Аннуитет – это будущая стоимость денег.

124. Вторая функция сложного процента используется для определения текущей стоимости аннуитета.

125. Третья функция сложного процента используется для выяснения того, какой платеж нужно ежегодно вносить, чтобы к концу n-го периода времени накопить заданную сумму денег.

126. Четвертая функция сложного процента используется для определения текущей стоимости будущего денежного потока.

127. Пятая функция сложного процента используется для определения будущей стоимости аннуитета.

128. Шестая функция сложного процента используется для определения величины платежа при амортизации кредита.

102