Тема 9. Вибірковий метод

Аналітичний матеріал

Вибірковий метод. У основі вибіркового спостереження лежить ідея про те, що відібрана у випадковому порядку деяка частина одиниць може представляти всю сукупність, що вивчається, по ознаках, що цікавлять дослідника.

Метою вибіркового спостереження є здобуття інформації, перш за все, для визначення звідних узагальнюючих характеристик всієї сукупності, що вивчається.

Наукові принципи теорії вибіркового відбору:

1) забезпечення випадковості відбору одиниць. Принцип випадковості полягає в тому, що при відборі кожною з одиниць сукупності, що вивчається, забезпечується рівна можливість попасти у вибірку;

2) забезпечення достатнього числа цих одиниць.

При вживанні вибіркового методу в статистиці використовуються наступні поняття і позначення.

Генеральна сукупність – вся сукупність одиниць, що вивчається, підлягає вивченню по ознаках, що цікавлять дослідника.

Вибіркова сукупність – відібрана у випадковому порядку з генеральної сукупності деяка її частина.

Позначення статистичних характеристик в генеральній і вибірковими сукупностях приведені в таблиці.

№ п/п	Найменування показників	Генеральна сукупність	Вибіркова сукупність
1	Об'єм (чисельність одиниць)	N	n
2	Середнє значення варіюючої ознаки
3	Загальна дисперсія
4	Середнє з групових значень
5	Міжгрупова дисперсія
6	Доля одиниць, що володіють даною якістю	p	w
7	Доля одиниць, що не володіють даною якістю	q=1 - p	1 - w
8	Дисперсія альтернативної ознаки	pq	w(1-w)
9	Частота	f	fв

Помилки вибіркового спостереження. Помилку вибіркового спостереження називають помилкою репрезентативності (показності).

Помилкою репрезентативності називають розбіжність між вибірковою характеристикою і передбачуваною характеристикою генеральної сукупності.

Помилка репрезентативності може виникнути по двох причинах:

1) із-за порушення наукових принципів відбору (систематична помилка);

2) в результаті випадковості відбору (випадкова помилка).

1) Систематична помилка (помилка зсуву) виникає як результат зсуву вибірки, оскільки при порушенні наукових принципів відбору при відборі кожної одиниці допускається помилка, завжди направлена в одну і ту ж сторону.

Її особливість полягає в тому, що, будучи постійною частиною помилки репрезентативності, помилка зсуву збільшується разом із збільшенням об'єму вибірки.

2) Випадкова помилка виникає в результаті випадкових відмінностей між одиницями, що попали у вибірку і одиницями генеральної сукупності, тобто пов'язана з випадковим відбором.

Її особливість полягає в тому, що випадкова помилка зменшується із збільшенням об'єму вибірки і її величину можна визначити.

Способи відбору і види вибірки. У теорії вибіркового методу розроблені різні способи і види вибірки, що забезпечують репрезентативність.

Способи відбору. Під способом відбору розуміють порядок відбору одиниць з генеральної сукупності. Розрізняють два способи відбору:

1) повторний – полягає в тому, що кожна, з відібраних у випадковому порядку, одиниця повертається в генеральну сукупність і при подальшому відборі може знову попасти у вибірку.

При такому способі відбору вірогідність попасти у вибірку для кожної одиниці генеральної сукупності не міняється незалежно від числа відібраних одиниць.

2) безповторний – полягає в тому, що кожна, з відібраних у випадковому порядку одиниця, після її обстеження в генеральну сукупність не повертається.

При такому способі відбору вірогідність попасти у вибірку для кожної одиниці генеральної сукупності збільшується у міру виробництва відбору.

Види вибірки. Залежно від методики формування вибіркової сукупності розрізняють наступні види вибірки: 1) власно-випадкова; 2) механічна; 3) типова (районована); 4) серійна (гніздова); 5) комбінована; 6) багатоступінчаста; 7) багатофазна; 8) взаємно проникаюча.

1) Власно-випадкова вибірка: сутність; визначення помилки і чисельності. Для одержання власно-випадкової вибірки генеральна сукупність строго підрозділяється на одиниці відбору і потім у випадковому повторному або безповторному порядку відбирається достатнє число одиниць.

При повторному способі відбору стандартна помилка вибірки розраховується по формулі:

де - дисперсія вибіркової сукупності;

w(1-w) – дисперсія альтернативної ознаки вибіркової сукупності;

w=m/n - вибіркова доля, доля одиниць, що володіють ознакою, що вивчається;

m - число одиниць, що володіють ознакою, що вивчається;

n - об'єм вибіркової сукупності.

При безповторному способі відбору стандартна помилка вибірки розраховується по формулі:

Порівняння формул 9.5 – 9.6 показує, що, за інших рівних умов, стандартна помилка вибірки при безповторному способі відбору завжди менша, ніж при повторному.

Безповторний відбір організувати простіше, ніж повторний, тому він і застосовується частішим.

Необхідна чисельність власно-випадкової вибірки при повторному способі відбору визначається по формулах:

Необхідна чисельність власне – випадкової вибірки при безповторному способі відбору визначається по формулах:

Формувати вибірку в строгій відповідності з правилами випадкового відбору практично дуже складно, а інколи неможливо. Тому на практиці застосовують інші види вибірок, кожна з яких не є строго випадковою. Проте організовуються вони так, щоб було забезпечено максимальне наближення до умов випадкового відбору.

2) Механічна вибірка. При механічній вибірці вся генеральна сукупність має бути, перш за все, представлена у вигляді списку одиниць відбору, складеного в якомусь нейтральному по відношенню до ознаки, що вивчається, порядку, наприклад за абеткою. Потім список одиниць відбору розбивається на стільки рівних частин, скільки необхідно відібрати одиниць. Далі по заздалегідь встановленому правилу, не пов'язаному з варіацією досліджуваної ознаки, з кожної частини списку відбирається одна одиниця.

Стандартну помилку механічної вибірки, її граничну помилку і необхідну чисельність слід визначати по формулах для власно-випадкової вибірки при бесповторному відборі (9.2, 9.4).

3) Типова вибірка. Типова вибірка переслідує дві мети:

- забезпечити представництво у вибірці відповідних груп генеральної сукупності по ознаках, що цікавлять дослідника;

- збільшити точність результатів вибіркового спостереження.

При типовій вибірці, до початку її формування, вся генеральна сукупність одиниць розбивається на типові групи. При цьому, виділені типові групи можуть містити однакове або різне число одиниць відбору.

У першому випадку вибіркова сукупність формується з однаковою долею відбору з кожної групи, в другому – з долею пропорційній її долі в генеральній сукупності.

Відбір з кожної групи здійснюється у випадковому (повторному або безповторному) або механічному порядку.

При типовій вибірці удається усунути вплив міжгрупової варіації ознаки, що вивчається, на точність розрахунків, оскільки забезпечується представництво у вибірковій сукупності кожній з типових груп. Стандартна помилка типової вибірки залежатиме не від величини загальної дисперсії, а від величини середньою з групових дисперсій.

Оскільки середня з групових дисперсій завжди менше загальної дисперсії, остільки, за інших рівних умов, стандартна помилка типової вибірки буде менше стандартної помилки власно-випадкової вибірки.

Середня (стандартна) помилка типової вибірки визначається по формулах:

де - середня з вибіркових дисперсій типових груп;

- то ж для альтернативної ознаки.

Верхня формула використовується при визначенні помилки вибірковою середньою, а нижня - при визначенні помилки вибіркової долі.

Середня з внутрішньо-групових дисперсій визначається по формулах:

n_і - обсяг вибірки з i–той типової групи.

При відборі, пропорційному чисельності одиниць типових груп в генеральній сукупності:

де N_і - об'єм типової групи в генеральній сукупності.

Необхідна чисельність типової вибірки визначається по формулах:

пскольку средняя из групповых дисперсий всегла меньше общей дисперсии.пических групп. ака на точность расчетов, т.к. признакам;4) Серійна (гніздова) вибірка. Серійна вибірка – такий вигляд формування вибіркової сукупності, коли у випадковому порядку відбираються не одиниці, що підлягають обстеженню, а групи одиниць (серії, гнізда). Усередині відібраних серій обстеженню підлягають всі одиниці.

При такому вигляді вибірки не усувається вплив міжгрупової варіації ознаки, що вивчається, на результати обстеження.

Недоліком цього вигляду вибірки є те, що при ній не забезпечується представництво кожній з серій і не усувається вплив між серійної варіації ознаки, що вивчається, на результати обстеження.

Середня помилка серійної вибірки при безповторному відборі серій визначається по формулі:

де - між серійна дисперсія ознаки (долі); R - число серій в генеральній сукупності; r - число вибраних серій.

Необхідна чисельність серійної вибірки визначається по формулі:

5) Комбінована вибірка. Комбінована вибірка є комбінацією з розглянутих вище видів вибірок (механічною і серійною, типовою і механічною, серійною і власно-випадковою і так далі).

До комбінованої вибірки прибігають з метою забезпечити найбільшу репрезентативність при найменших трудових і грошових витратах на організацію і проведення дослідження.

При комбінованій вибірці величина стандартної помилки визначається як корінь квадратний з суми квадратів відповідних вибірок.

6) Багатоступінчаста вибірка. Багатоступінчаста вибірка формується поступово по рівнях відбору: на 1-му рівні за допомогою заздалегідь визначеного способу відбору і вигляду вибірки відбираються одиниці 1-го рівня; на 2-му рівні з кожної одиниці 1-го рівня, що попав у вибірку, відбираються одиниці 2-го рівня і так далі

Число рівнів миє бути і більше 2-х. На останньому рівні формується вибіркова сукупність, одиниці якої підлягають обстеженню.

Перевага багатоступінчастої вибірки є те, що основу вибірки на кожному з рівнів відбору потрібно будувати для тих одиниць, які попали у вибірку.

7) Багатофазна вибірка. Сутність багатофазної вибірки полягає в тому, що на основі первинний сформованій вибірковій сукупності утворюють підвибірку, з цієї підвибірки – наступну підвибірку і так далі Первинна вибіркова сукупність є 1-ою фазою, підвибірка з неї – 2-у і так далі

Особливістю такої вибірки є те, що відомостями, отриманими на 1-ій фазі, можна користуватися як додатковою інформацією на подальших фазах, інформацією 2-ої фази як додатковою інформацією на подальших і так далі Таке використання відомостей підвищує точність результатів вибіркового спостереження.

Стандартна помилка при цьому розраховується на кожній фазі окремо в строгій відповідності з формулами того способу відбору і вигляду вибірки, за допомогою яких формувалася її вибіркова сукупність.

8) Взаємно-проникаючі вибірки. Взаємно-проникаючі вибірки – це 2 або більш незалежні вибірки з однієї і тієї ж генеральної сукупності, утворені одним і тим же способом і виглядом.

До таких вибірок прибігають тоді, коли необхідно за короткий строк отримати попередні підсумки вибіркових досліджень.

Стандартна помилка при взаємно-проникаючих вибірках визначається також як при типовій пропорційній вибірці.

Гранична помилка вибірки при різних способах відбору і видах вибірки завжди визначається по формулі:

де t – заданий коефіцієнт довіри, величина якого залежить від заданої вірогідності.

t	1	2	3
P(t),%	68,3	95,4	99,7

Гранична помилка вибірки дозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності при заданій вірогідності і їх довірчі інтервали:

Приклади вирішення завдань

Приклад 1. При обстеженні 300 одиниць виробів, які були відібрано у випадковому порядку з партії товару, 30 одиниць виявились нестандартними. З вірогідністю 0,997 визначте інтервал в якому знаходиться доля нестандартної продукції у всій партії товару.

Рішення

1. Оскільки відбір виконувався у випадковому порядку і обсяг партії товару невідомий, то стандартну помилку вибірки будемо розраховувати по формулі для випадкової вибірки:

.

2. Доля нестандартної продукції у виборці:

0,1.

3. Визначаємо стандартну помилку вибірки:

= 0,0173.

4. Гранична помилка вибірки складе:

= 3_*0,0173= 0,052.

5. Інтервал в якому знаходиться доля нестандартної продукції у всій партії товару:

0,1 – 0,052 0,1 + 0,052,

0,948 0,152.

Відповідь. Доля нестандартної продукції в усій партії товару знаходиться в інтервалі - 0,948 0,152.

Приклад 2. Для визначення середнього віку 100 тис. виборців району необхідно провести механічну вибірку по реєстру виборців. Попередньо встановлено, що середнє квадратичне відхилення віку виборців становить 10 років. Визначте необхідну чисельність вибірки при умові, що з вірогідністю 0,954 помилка вибірки буде не більше двох років.

Рішення

1. Необхідна чисельність механічної вибірки визначається за формулою:

.

2. Розрахуємо необхідну чисельність вибірки для умов задачі:

99.9 .

Відповідь. Необхідна чисельність вибірки складає 100 виборців.

Приклад 3. Для визначення середньої вартості однієї ліцензії була проведена 25%-на типова вибірка з відбором одиниць пропорційно чисельності типових груп. Всередині груп відбір вівся методом випадкового без повторного відбору. Результати вибірки наведено в таблиці:

Тип ліцензії	Середня ціна ліцензії, тис. дол.	Середнє квадрати-чне відхилення, тис. дол.	Кількість проданих ліцензій
Проста	630	50	400
Виняткова	2350	120	120
Повна	15575	390	13

З вірогідністю 0,997 визначте границі, в яких знаходиться середня ціна проданої ліцензії.

Рішення

1. Ми маємо справу з типовою вибіркою, стандартна помилка якої визначається за формулою:

.

2. Середня із групових дисперсій вибіркової сукупності визначимо наступним чином:

5910.

3. Обчислимо стандартну помилку вибірки:

2,9 тис. дол.

3. Гранична помилка вибірки складає:

= 3_*2,9= 8,7 тис. дол.

4. Середня ціна ліцензії по виборці:

1381,8 тис. дол.

Відповідь. Середня ціна ліцензії для усієї сукупності знаходиться в діапазоні – 1381,8 – 8,7 1381,8 – 8,7 тис. дол.

Приклад 4. Для перевірки якості партії продукції, яка складається з 500 ящиків з продукцією, методом механічного відбору було відібрано 10 ящиків. Результати перевірки показали, що середній строк служби виробів у відібраних ящиках склав (місяці): 6,5; 7,9; 8,0; 6,3; 7,4; 6,0; 9,1; 7,6; 6,4; 7,0. Середній строк служби виробу по виборці – 7,8 міс. З вірогідністю 0,954 визначити границі, в яких знаходиться середній строк служби виробу у всій партії.

Рішення

1. З вихідних даних видно, що для перевірки якості продукції була проведена серійна вибірка. Стандартна помилка серійної вибірки визначається за формулою:

.

2. Між серійну дисперсію визначимо по формулі:

.

3. Підставивши значення одержимо:

= 1,45 .

4. Стандартна помилка вибірки складе:

= 0,38 .

5. Гранична помилка вибірки складе:

= 2_*0,38 = 0,76.

Відповідь. Середній строк служби виробу у всій партії знаходиться в діапазоні – 7,04 місяців.

Тести

1. Розходження між вибірковою характеристикою та характеристикою генеральної сукупності, яка припускається, називають:

а) помилкою репрезентативності;

б) систематичною помилкою;

в) випадковою помилкою;

г) помилкою зміщення.

2. Помилка вибіркового спостереження, яка збільшується зі збільшенням обсягу вибірки, називають:

а) систематичною;

б) навмисною;

в) ненавмисною;

г) випадковою.

3. Максимально можливе розходження між середніми вибіркової і генеральної сукупностей називають:

а) помилкою зміщення;

б) стандартною помилкою;

в) граничною помилкою;

г) навмисною помилкою.

4. Розходження між середніми вибіркової і генеральної сукупностей, яка не перевищує величини середнього квадратичного відхилення, називають:

а) помилкою зміщення;

б) стандартною помилкою;

в) граничною помилкою;

г) помилкою зміщення.

5. Порядок відбору одиниць вибіркової сукупності при якому кожна з відібраних одиниць після її обстеження не повертається в генеральну сукупність, називають:

а) вибірковим;

г) повторним;

в) без повторним;

г) основного масиву.

6. Вибірка, до проведення якої генеральна сукупність формується у вигляді списку одиниць, складеного за абеткою, який ділиться на стільки рівних частин скільки потрібно відібрати одиниць, а потім по раніше встановленому порядку з кожної частини списку вибирається одна одиниця, називається:

а) випадкова;

б) механічна;

в) типова;

г) серійна.

7. Вибірка, до проведення якої генеральна сукупність ділиться на групи, що включають однакову кількість одиниць, а потім з кожної групи у випадковому порядку відбирається однакове число одиниць, називається:

а) випадкова;

б) механічна;

в) типова;

г) серійна.

8. Вибірка, до початку проведення якої генеральна сукупність ділиться на групи, що включають однакове число одиниць, а потім у випадковому порядку до вибіркової сукупності відбираються не окремі одиниці, а групи одиниць, у яких обстеженню підлягають усі одиниці, називається:

а) випадкова;

б) механічна;

в) типова;

г) серійна.

9. Вибіркова сукупність, обсяг якої не перевищує зо одиниць, називається:

а) механічна;

б) моментальна;

в) мала;

г) репрезентативна.

10. Вибірка, випадкова помилка якої не підлягає закону нормального розподілу. називається:

а) механічна;

б) мала;

в) без повторна;

г) репрезентативна.

Контрольні питання

1. Вибіркове спостереження: позитивні сторони; наукові принципи теорії вибіркового спостереження.

2. Помилка репрезентативності: поняття; причини появи; характеристика.

3. Випадкова помилка вибірки: види; визначення; порядок розрахунку.

4. Способи відбору одиниць: визначення поняття; характеристика.

5. Перелічить види вибірки, що забезпечують репрезентативність.

6. Сформулюйте ідею, яка лежить в основі виморочного спостереження та його мету.

Додаток А. Вихідні дані по варіантам для самостійного вирішення завдання 3.1 по темі 3.

Продовження додатку А. Вихідні дані по варіантам для самостійного вирішення завдання 3.1 по темі 3