3. Середні величини

Середньою величиною в статистиці називаються кількісний показник характерного, типового рівня масових однорідних явищ, який складається під впливом загальних причин і умов розвитку. У зв'язку з цим середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену, підсумкову характеристику масових суспільних явищ. В середній величині гасяться (розчиняються) всі відмінності та особливості індивідуальних значень ознак і вона є „рівнодіючою" значень цих ознак. Головними умовами застосування середніх величин є:

1. наявність якісної однорідності сукупності;

1. масовий характер даних сукупності, де діє закон великих чисел.

Залежно від характеру ознаки, що усереднюється, і наявності вихідної статистичної інформації в статистиці використовують декілька видів середніх, серед яких найбільш поширеними є такі: середня арифметична; середня гармонічна; середньо квадратична; середня геометрична. Поряд з переліченими видами середніх величин у статистичній практиці застосовують також середню хронологічну та структурні середні: моду та медіану. Використання того чи іншого виду середніх залежить від двох обставин:

1. від характеру індивідуальних значень ознаки (прямі, обернені, квадратичні, відносні);

2. від характеру алгебраїчного зв'язку між індивідуальними значеннями ознаки та її загального обсягу (сума, добуток, степінь, квадратний корінь).

Кожна із зазначених видів середніх може виступати у двох формах: простої та зваженої. Проста середня застосовується при обчисленні середньої за первинними (не згрупованими) даними, зважена — за згрупованими даними.

При використанні середніх величин введемо такі позначення:

- середнє значення досліджуваної ознаки;

х_і або х - кожне індивідуальне значення усереднюваної ознаки (варіанта) в варіаційному ряду;

f_i, або f частота повторень (вага) індивідуальної ознаки в варіаційному ряду;

w=хf- обсяг значень ознаки;

n - кількість одиниць досліджуваної ознаки.

Середня арифметична

Середня арифметична - це найпоширеніший вид середньої між інших. Вона застосовується тоді, коли відомі індивідуальні значення усереднюваної ознаки та їх кількість у сукупності. Тоді проста середня арифметична обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності:

Наприклад, статутний капітал акціонерної компанії сформований 6 засновниками. Розмір внеску кожного з них відповідно становив, млн. грн.: 8; 10; 12; 9; 6; 5. Середній внесок одного засновника розраховується так:

Зважена середня арифметична використовується у тих випадках, коли значення ознаки подано у вигляді варіаційного ряду, в якому чисельність одиниць у варіантах неоднакова. Формула середньої арифметичної зваженої має вигляд:

З формули видно, що середня зважена принципово не відрізняється від середньої простої арифметичної. Тут додавання f разів варіанти х змінюється множенням її на кількість повторень (f).

Техніку обчислення середньої арифметичної зваженої проілюструємо прикладом обчислення середньої виробки деталей на одного робітника за зміну, якщо відомо скільки деталей виготовив кожен з 15 робітників.

Таблиця 1

Розподіл робочих за виготовленням деталей

За формулою середня арифметична зважена:

Середня гармонічна

Середня гармонічна - це обернена до середньої арифметичної із обернених значень ознак. її обчислюють, коли необхідно осереднення обернених індивідуальних значень ознак шляхом їх підсумування (наприклад, у випадках визначення середніх витрат часу, праці, матеріалів на одиницю продукції тощо). У випадку розрахунку середньої гармонічної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (w=хf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома є частота (f). Формули середньої гармонічної - простої і зваженої - мають такий вигляд:

Для простої

Для зваженої

Для встановлення місця середньої гармонічної в розрахунку середньої величини розглянемо такий приклад. Припустимо, що бригада токарів на протязі 8-годинного робочого дня зайнята обточкою однакових деталей. Перший токар затрачує на одну деталь 12 хв, другий - 15 хв, третій - 11 хв, четвертий -16 хв і п'ятий - 14 хв. Необхідно знайти середній час на виготовлення одної деталі.

На перший погляд, ця задача вирішуються легко за формулою середньої арифметичної простої:

Однак, знайдена середня була би правильною, якщо кожний робітник виробив тільки по одній деталі, а не працював 8 годин, коли робітниками було виготовлено різна кількість деталей. Для розрахунку кількості деталей, виготовлених кожним робітником, використаємо таке співвідношення (логічну формулу):

=

=

Останнє кількісне співвідношення відповідає формулі середньої гармонічної простої

Бачимо, що в наявності різниця між результатами обчислення за формулами середньої арифметичної та середньої гармонічної.

Середня квадратична

Середня квадратична використовується для визначення показників варіації (коливання) ознаки - дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Обчислюється на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Формула середньої квадратичної має такий вигляд:

Проста

Зважена

Середня геометрична

Середню геометричну застосовують у тих випадках, коли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивідуальних значень ознак. Цей вид середньої використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інтервалів між п рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:

де - темпи зростання; у_і, у_і-l - відповідно звітний та попередній рівні ряду; m- кількість темпів зростання (m=n-1).

Прикладом застосування середньої геометричної є наступне. Припустимо, що внаслідок інфляції споживчі ціни за чотири роки зросли в 2,8 рази, в тому числі: за перший рік у 1,7 рази; за другий - в 1,3; за третій - в 1,1; за четвертий - в 1,15 рази. Як визначити середньорічний темп зростання цін? Середня арифметична (1,7+1,3+1,1+1,15):4=1,312 не забезпечує визначеної властивості, так як за чотири роки за цією середньою ціни б зросли у 1,312*1,312*1,312*1,312=2,94 рази, а не в 2,8 рази. Визначену властивість забезпечує тільки середня геометрична:

Мода і медіана

Середніми величинами в статистичних рядах розподілу є мода і медіана, які відносяться до класу структурних (позиційних) середніх. їх величини залежать лише від характеру частот, тобто від структури розподілу. На відміну від інших середніх, які залежать від усіх значень ознаки, мода і медіана не залежить від крайніх значень. Це особливо важливо для незакритих крайніх інтервалів варіаційних рядів розподілу.

Мода (Мо) - це значення варіанти, що найчастіше повторюється в ряду розподілу. Спосіб обчислення моди залежить від виду статистичного ряду. Для атрибутивних і дискретних рядів розподілу моду визначають візуально без будь-яких розрахунків за значенням варіанти з найбільшою частотою (часткою). Наприклад, за результатами опитування населення щодо самовизначення матеріального стану за чотирма оцінками (добрий, задовільний, незадовільний, нестерпний) більшість респондентів визначили свій стан як незадовільний - це і буде модою. Або модальною ціною на той чи інший продукт на ринку є та ціна, яка спостерігається найчастіше. В інтервальному ряді спочатку визначається модальний інтервал (інтервал з найбільшою частотою) і значення моди в середні інтервалу розраховується за формулою:

де х₀ - нижня межа модального інтервалу;

h - величина модального інтервалу;

f₁+f₂+f₃ - частота відповідно передмодального, модального та післямодального інтервалів.

Медіаною (М_е) називають варіанту, що ділить ранжирований (впорядкований за мірою зростання або зменшення) ряд на дві рівні за обсягом частини. Медіана для дискретного ряду з непарним числом варіант буде відповідати середній варіанті М_е=x_m-1, де т - номер кратної варіанти першої половини ранжированного ряду. Медіана для дискретного ряду з парним числом варіант буде відповідати середній із значень варіант у ранжированному ряду

Для інтервального ряду: медіана обчислюється для середини медіанного інтервалу, за який приймається такий, де сума накопичених частот перевищує половину значень частот ряду розподілу. В даному випадку формула для розрахунку медіани має вигляд:

М_е =

де х₀ - нижня межа медіанного інтервалу; h - величина медіанного інтервалу; 0,5∑f - половина суми накопичених частот інтервального ряду; S_x0 — сума накопичених частот перед медіанним інтервалом; f_m - частота медіанного інтервалу.

В аналізі закономірностей розподілу використовуються також такі характеристики як квартилі та децилі. Квартилі — це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі - на десять частин.