Построение аддитивной модели временного ряда.

Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Коррелограмма

Шаг 1. Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней:

1. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (табл. 4.5);

2. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 4). Полученные значения уже не содержат сезонной компоненты;

3. приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени –через центрированные скользящие средние (табл. 4).

Таблица 4

Шаг 2. Оценки сезонной компоненты – разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (табл. 4). Рассчитаем значения сезонной компоненты (табл. 5). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. Для аддитивной модели – сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам равна нулю.

Для данной модели имеем:

Корректирующий коэффициент:

Скорректированные значения сезонной компоненты () (табл. 5.).

Таблица 5

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (табл. 6). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 6

Шаг 4. Определим компоненту данной модели через аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда:

Подставляя значения , найдем уровнидля каждого момента времени (табл. 6).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (табл. 6).

График содержит фактические значения уровней временного ряда и теоретические.

Оценка качества модели производится через сумму квадратов абсолютных ошибок.

.

Аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Нужно дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2010 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели – сумма трендовой и сезонной компонент. Трендовая компонента:

Получим

и

То есть в первые два квартала 2010 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Таблица 7

Шаг 2. Оценки сезонной компоненты – частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (табл. 7). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты (табл. 8). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам равняется числу периодов в цикле (в нашем случае – 4).

Таблица 8

Корректирующий коэффициент:

Скорректированные значения сезонной компоненты – произведение средней оценкина корректирующий коэффициент.

Сумма значений сезонной компоненты:

Шаг 3. Делим уровни исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получаем (табл. 9) – только тенденция и случайная компонента.

Таблица 9

Шаг 4. Компонента в мультипликативной модели получается через параметры линейного тренда, используя уровни. Уравнение тренда:

Подставляя значения , найдем уровнидля каждого момента времени (табл. 9).

Ш

Расчет ошибки в мультипликативной модели:

Для сравнения моделей временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок :

По показателям детерминации аддитивной и мультипликативной моделей видно, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные.

Шаг 6. Прогнозирование по мультипликативной модели. Нужно дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2010 года. Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в модели – произведение трендовой и сезонной компонент. Трендовая компонента:

Сезонные компоненты: и.

В первые два квартала 2003 г. следует ожидать порядка 409 и 436 правонарушений.

Аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый прогноз.

Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и промежуточные расчеты (табл.10):

Таблица 10

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной модели составляет:

Сформулируем гипотезы: – в остатках нет автокорреляции;– в остатках положительная автокорреляция;– в остатках отрицательная автокорреляция. Уровень значимости. По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона (для числа наблюденийи числа независимых параметров модели) (зависимость только от времени) критические значенияи. Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона в интервале(1,37<2,24<2,63). Нет основания отклонять гипотезуоб отсутствии автокорреляции в остатках.

Приложение 5