Автокорреляционная, частная автокорреляционная и взаимная корреляционная функции

Для изучения внутренней структуры временного ряда применяется автокорреляционная функция rτ, которая представляет собой множество коэффициентов корреляции между временным рядом τ и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на т моментов времени. Коэффициенты автокорреляции измеряют связь между текущими и прошлыми уровнями временного ряда.

Нормированная автокорреляционная функция (АКФ) для временного ряда yt вычисляется по формуле

где t= 1, 2, 3,..., n; τ = 0, 1, 2,..., n - 2.

Величину τ называют сдвигом. Сдвиг, которому соответствует максимальное значение коэффициента автокорреляции, называют временным запаздыванием или временным лагом.

Для анализа значений нормированной автокорреляционной функции удобно использовать график, который называется коррелограммой. Она изображает зависимость значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка автокорреляции).

Коэффициенты автокорреляции также используются для определения параметров (коэффициентов) авторегрессионной модели.

Если в процессе исследования какого-либо явления имеется несколько временных рядов, то для их одновременного сравнения и анализа используется взаимная корреляционная функция. Нормированная взаимная корреляционная функция двух рядов Y и X для заданных сдвигов (τ) вычисляется по формуле

В статистических пакетах предусмотрено также вычисление частных коэффициентов автокорреляции.

Частный коэффициент автокорреляции измеряет связь между текущим значением ряда yt и его предыдущими значениями yt-1,yt-2, ..., yt- τ, когда влияние всех промежуточных лагов устранено. В вычислениях данного коэффициента используется принцип определения обычных частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент автокорреляции первого порядка (τ = 1) будет равен коэффициенту автокорреляции первого порядка, поскольку нет промежуточных лагов. Частные коэффициенты второго и третьего порядков (φ) находятся по формулам

где r1, r2, r3 – коэффициенты автокорреляции первого, второго и третьего порядков.

Совокупность частных коэффициентов автокорреляции образует частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ). В общем виде ЧАКФ в пакете СтатЭксперт вычисляется следующим образом:

где τ – максимальная задержка (лаг) функции (обычно для малых лагов τ ≤ n/4);

r – автокорреляционная функция.

Значимость стандартного отклонения коэффициентов автокорреляции оценивается по выражению

где Ζ – критическое (двустороннее) значение вероятностей нормального распределения для заданного уровня значимости;

n – количество членов (наблюдений) ряда.

Отсюда следует, что значимый коэффициент автокорреляции имеет такое ограничение:

По оценкам АКФ и ЧАКФ в процессе предварительного анализа временных рядов также можно получить информацию об их возможных моделях авторегрессии и скользящего среднего.

В частности, по значениям АКФ и лагов устанавливается наличие в рядах динамики тенденции, периодических колебаний и т.п. Например, «чистые» автокорреляционные процессы имеют плавно затухающую АКФ и резко прерывающуюся ЧАКФ. В этом случае в качестве порядка моделей авторегрессии выбирают лаг, после которого все ЧАКФ имеют незначительную величину.

Для авторегрессионного процесса на графике наблюдается затухание коэффициентов автокорреляции с ростом лага или затухание по синусоиде. Если первые q значений коэффициентов автокорреляции отличны от нуля, а последующие имеют нулевые значения или близкие к ним величины, то это является характерным признаком процесса скользящего среднего порядка q. Если коэффициенты авторегрессии достаточно заметно отличаются от нуля при больших лагах, то для описания процесса применяется, как правило, комбинированная интегрированная модель авторегрессии и скользящего среднего (АРИСС). Лаги при статистически значимых коэффициентах автокорреляции используют в моделях при описании динамических процессов.

По поведению ЧАКФ также можно сделать предположения о виде модели динамического ряда. Например, характерной особенностью авторегрессионного процесса порядка m является то, что существенно отличаются от нуля ЧАКФ для лагов от 1 до m, затем они резко стремятся к нулю при интервалах m + 1 и более. В данном случае последний статистически значимый частный коэффициент автокорреляции определяет максимальный лаг m.

Если значения ЧАКФ снижаются по экспоненте, то можно предположить также возможность описания динамического процесса моделью скользящего среднего, а не авторегрессии.