Показатели асимметрии и эксцесса

Коэффициент асимметрии показывает «скошенность» ряда распределения относительно центра:

, (6.68)

где – центральный момент третьего порядка;

– куб среднего квадратического отклонения.

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия)

Кроме центрального момента расчет асимметрия можно провести, используя моду или медиану:

либо , (6.69)

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия) (рис. 4).

Рис. 4. Асимметричные распределения

Величина, показывающая «крутость» распределения, называется коэффициентом эксцесса:

, (6.70)

Если , в распределении наблюдается островершинность – эксцесс положительный, если , в распределении наблюдается плосковершинность – эксцесс отрицательный (рис. 5).

Рис. 5. Эксцессы распределения

Пример 5. Имеются данные о количестве овец по хозяйствам района (табл. 9).

Таблица 9

№	тыс.голов.	№	тыс.голов.	№	тыс.голов.
1	2,0	5	3,0	9	5,5
2	2,5	6	4,0	10	6,0
3	2,5	7	5,5	11	6,5
4	3,0	8	5,5	12	7,0

Рассчитать.

1. Среднее количество овец в расчете на одно хозяйство.

2. Моду.

3. Медиану.

4. Показатели вариации

• дисперсию;

• стандартное отклонение;

• коэффициент вариации.

5. Показатели асимметрии и эксцесса.

Решение.

1. Так как значение варианты в совокупности повторяется по несколько раз, с определенной частотой для расчета среднего значения используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:

2. Данный ряд является дискретным, поэтому модой будет варианта с наибольшей частотой – .

3. Данный ряд является четным, в этом случае медиану для дискретного ряда находят по формуле:

То есть, половина хозяйств в исследуемой совокупности имеют количество овец до 4,75тыс.голов. а половина свыше данной численности.

4. Для расчета показателей вариации составим таблицу 10, в которой рассчитаем отклонения , квадраты данных отклонений , расчет можно провести как по простым, так и по взвешенным формулам расчета (в примере используем простую):

Таблица 10

№
1	2,00	-2,42	5,84
2	2,50	-1,92	3,67
3	2,50	-1,92	3,67
4	3,00	-1,42	2,01
5	3,00	-1,42	2,01
6	4,00	-0,42	0,17
7	5,50	1,08	1,17
8	5,50	1,08	1,17
9	5,50	1,08	1,17
10	6,00	1,58	2,51
11	6,50	2,08	4,34
12	7,00	2,58	6,67
Итого	53,00	0,00	34,42
В среднем	4,4167

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем стандартное отклонение:

Рассчитаем коэффициент вариации:

5. Для расчета показателей асимметрии и эксцесса построим таблицу 11, в которой рассчитаем , ,

Таблица 11

Асимметрия распределения равна:

То есть, наблюдается левосторонняя асимметрия, так как , что подтверждается и при расчете по формуле:

В этом случае , что для данной формулы так же указывает на левостороннюю асимметрию

Эксцесс распределения равен:

В нашем случае эксцесс отрицательный, то есть наблюдается плосковершинность.

Пример 6. По хозяйству представлены данные о заработной плате работников (табл. 12)

Рассчитать моду и медиану.

Решение.

Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по формуле:

где модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, в нашем случае 3600-3800, с частотой

 минимальная граница модального интервала (3600);

 величина модального интервала (200);

 частота интервала предшествующая модальному интервалу (25);

 частота следующего за модальным интервалом (29);

 частота модального интервала (68).

Таблица 12

Для интервального вариационного ряда медиана рассчитывается по формуле:

где медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот, в нашем примере это 3600-3800.

 минимальная граница медианного интервала (3600);

 величина медианного интервала (200);

 сумма частот ряда (154);

 сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному (57);

– частота медианного интервала (125).

Пример 7. По трем хозяйствам одного района имеются сведения о фондоемкости продукции (количество затрат основных фондов на 1руб. произведенной продукции): I – 1,29 руб., II – 1,32 руб., III – 1,27руб. Необходимо рассчитать среднюю фондоемкость.

Решение. Так как фондоемкость обратный показатель оборота капитала используем формулу среднюю гармоническую простую.

Пример 8. По трем хозяйствам одного района имеются данные о валовом сборе зерновых и средней урожайности (табл. 13).

Таблица 13

Необходимо рассчитать среднюю урожайность по хозяйствам.

Решение. Расчет средней урожайности по средней арифметической невозможен, так как отсутствуют сведения о количестве посевных площадей , поэтому используем формулу средней гармонической взвешенной:

Пример 9. Имеются данные о средней урожайности картофеля на отдельных участках и количестве окучиваний (табл. 14)

Таблица 14

Проведем группировку данных (табл. 15):

Таблица 15

Группировка участков по признаку «число прополок»

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 16):

Таблица 16

2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:

I. Группа с числом окучиваний - 1(табл. 17)

Таблица 17

II. Группа с числом окучиваний равным 2 (табл. 18)

Таблица 18.

3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:

.

4. Найдем межгрупповую дисперсию. В соответствии с законом сложения дисперсии:

, отсюда

5. Рассчитаем корреляционное отношение:

.

То есть, фактор, положенный в основу группировки (число окучиваний) оказывает среднее влияние на результат (урожайность).