Метод линейной свертки частных критериев

Линейная свертка ч-критериев получается как х сумма с некоторыми весовыми коэффициентами _r:

где

Меняя порядок суммирования и вводя обозначения c_j и c₀, окончательно получим:

Коэффициенты веса обычно получаются путем опроса экспертов из соответствующей предметной области. Поскольку вектор  = (_r) – суть вектор-градиент ЦФ L^(x), то предполагается, что он указывает направление к экстремуму неизвестной функции полезности. Положительная сторона такого подхода – несложность, не всегда компенсирует его серьезный недостаток – потерю физического смысла линейной свертки разнородных ч-критериев. Это затрудняет интерпретацию результатов, поэтому полученное таким путем решение, следует рассматривать только как возможный (альтернативный) вариант решения ЛПР. Для его сравнительного анализа следует привлекать любые другие варианты и, конечно, значения ч-критериев, получаемые при этом. Иногда при получении свертки ч-критериев предварительно нормируются каким-нибудь способом.

Наиболее приемлемой линейная свертка ч-критериев может оказаться в том случае, когда ч-критерии однородны и имеют единый эквивалент, согласующий их наиболее естественным образом.

На содержательном уровне данная МЗЛП состоит в необходимости принятия такого компромиссного решения (плана выпуска продукции) x^k  D_x, которое обеспечит, по возможности, наибольшую суммарную выручку L¹(x) от реализации произведенной продукции; наименьший расход ресурсов i-го вида L^pl (x) (i = 1; m); минимальные налоговые отчисления от прибыли L^H(x) (или общей выручки).

Указанные цели носят противоречивый характер, и фактически мы имеем МЗЛП с m+2 –мя ч-критериями (m – количество видов потребляемых ресурсов). ОДР обусловлена ресурсными ограничениями и условиями неотрицательных переменных:

где a_ij – расход ресурса i-го вида для выпуска 1 единицы продукции j-го вида (j=1,n);

b_i – запас ресурса i-го вида;

_i – остаток ресурса i-го вида при плане выпуска x = (x_j)_n. Ч-критерии однородны, если они могут быть сведены к единой мере измерения. В качестве такой меры можно взять денежный эквивалент. Тогда m+2 ч-критерия могут быть с помощью линейной свертки сведены к трем:

общая выручка (руб.):

общая экономия ресурсов (руб.):

налоговые отчисления (руб.):

где c_j – выручка от реализации 1 ед. продукции j-го вида (цена); s_i – стоимость (цена) 1 ед. ресурса i-го вида (i = 1;m); П_j – прибыль от реализации 1 ед. продукции j-го вида (j = 1;n); a_j – доля (процент налоговых отчислений от прибыли (выручки).

В заключение заметим, что коэффициенты _r не обязательно должны удовлетворять условию (10), но обязательно должны быть положительными, если все ч-критерии максимизируются.

?.Метод анализа иерархий (метод Саати)

При утверждении управленческих решений и прогнозировании вероятных итогов лицо, принимающее решение, как правило, сталкивается со сложной организацией взаимозависимых элементов, которую нужно разобрать. На сегодняшний день есть масса технологий, позволяющих максимально облегчить существование и помочь в решении проблем, сплоченных с процессами принятия решений. «Метод анализа иерархий, разработан Т. Саати. Сегодня его используют повсеместно: от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей».¹ Данный метод разрешает группе людей, взаимодействовать по интересующей их задаче, видоизменять свои мнения и в итоге соединить групповые мнения в соответствии с главным критерием: при проведении попарных сопоставлений объектов по касательству к некоторой характеристике, или характеристик по отношению к высшей цели, полярные отношения обеспечивают ключ к объединению групповых суждений целесообразным образом.

• Метод анализа иерархий Т. Саати проводится по следующей схеме:

• структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети;

• установка приоритетов критериев и оценка каждой из альтернатив по критериям;

• вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня. При этом проверяется согласованность суждений;

подсчитывается комбинированный весовой коэффициент и определяется наилучшая альтернатива.

Ключевой задачей в методе анализа иерархий Т. Саати является оценка высших уровней исходя из взаимодействия разных уровней иерархии, а не из прямой зависимости от элементов на этих уровнях. Точные технологии построения систем в виде иерархий понемногу появляются в естественных и общественных науках, и в особенности в задачах общей теории систем, объединенных с планированием и построением социальных систем. Концептуально, наиболее примитивная иерархия - линейная, восходящая от одного уровня элементов к последующему.

Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, подчиняющийся уровню мастеров, который в свою очередь подчиняется уровнем управляющих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в подчиняющем, так и в подчиненном положении. В математической теории иерархий разрабатывается технология оценки влияния уровня на соседний уровень посредством композиции надлежащего вклада компонентов нижнего уровня по отношению к компоненту верхнего уровня. Эта система может распространяться вверх по иерархии.

В наиболее примитивном виде иерархия основывается с вершины, через промежуточные критерии к самому нижнему уровню – комплекту альтернатив.

После иерархического отображения вопроса учреждаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по заданным параметрам.

Каждый предмет можно оценивать по многим показателям качества.

Эксперт может сопоставить два предмета и дать им оценки, например, упорядочить несколько предметов по привлекательности. Ответы эксперта обычно измерены в порядковой шкале, являются ранжировками, итогами парных сравнений.

Метод анализа иерархий Т. Саати предполагает следующие этапы:

• нахождение проблемы.

• построение иерархии - разложение проблемы на элементарные составляющие: от проблемы через промежуточные составляющие к самому нижнему уровню - перечню простых альтернатив.

• оценка важности альтернатив с помощью метода парных сравнений.

• оценка локальных приоритетов сравниваемых элементов.

• испытание согласованности локальных приоритетов.

• иерархический синтез решения проблемы.

Для того, чтобы формализовать оценки экспертов, в методе анализа иерархии вводится специальная шкала оценок – шкала относительной важности. Согласно этой шкале, для расчета показателей важности на первом этапе производится постановка и формализация задачи. Для этого на основе рассмотрения имеющейся системы мониторинга процессов, требований нормативной документации и соображений экспертов, складывается множество показателей и точек их проверки.

Следующим действием первого этапа является нахождение набора критериев и технологии их оценивания. Ранжирование представляет собой расположение критериев в порядке возрастания степени их важности.

Например, подходу, который наихудшим образом соответствует выбранному критерию, присваивается ранг 1, следующему - ранг 2, наилучшему – ранг 3. Если, по мнению оценщика, ранги двух или трех элементов сравнения равны, то они осредняются. Например, наихудшему подходу присваивается ранг 1, двум другим – ранги: (2 + 3) / 2 = 2,5.²

В качестве количественной характеристики может быть избрано стандартное отклонение. В данном случае авторитет подхода обусловливается, по аналогии с неравноточными измерениями, величиной обратно пропорциональной значимости квадрата стандартного отклонения.

Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности. 

Метод анализа иерархий - действенный, элементарный и доступный метод. Он употреблялся при решении многих задач, среди которых:

• профессиональный отбор,

• планирование эффективного обучения,

• распределение кадров,

• аттестация специалистов

• продвижение персонала по службе.