4.5. Середня арифметична, основні її властивості.

Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів, то найпоширенішою є арифметична середня, яка розраховується діленням обсягу значень ознаки на обсяг сукупності.

Середня арифметична застосовується у формі простої середньої і зваженої середньої.

Середня арифметична проста застосовується в таких випадках, коли всі варіанти зустрічаються один раз, або мають однакові частоти в досліджуваній сукупності. Її отримують шляхом додаванням окремих варіантів і діленням суми на число доданків.

Формула середньої арифметичної простої має вигляд:

,

де – середнє значення ознаки;

–окремі варіанти ознаки;

n – кількість варіантів.

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єднати в групи, а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант на відповідні їм частоти. Такий процес множення у статистиці називають зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами – вагами. Сама назва “ваги” відбиває факт різновагомості окремих варіант. Значення ознаки осереднюються за формулами середньої арифметичної зваженої:

1) якщо відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f):

2) якщо відомо обсяг сукупності (m) та частоти ознаки (f):

4. якщо відомо значення ознаки (Х) та показники частки (f’):

Приклад.

За наступними даними про заробітну плату і чисельність робітників розрахувати середній рівень заробітної плати.

Розв’язок

Оскільки за умовою задачі відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f), розрахунок буде здійснено наступним чином:

Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове підсумовування значень однієї варіанти замінюється множенням варіант на вагу. Проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.

Іноді середні величини потрібно обчислити не з конкретних значень варіантів досліджуваної ознаки, а із значень величин, виражених у вигляді інтервалів. В таких випадках потрібно для кожного інтервалу знайти його середину за простою середньою між верхньою і нижньою межею кожного інтервалу і після цього проводити обчислення за формулою середньої арифметичної зваженої.

Приклад.

Розрахувати середню собівартість продукції.

Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають 44е стимуля значення. Найважливіші з них такі:

1) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й теж число (А), то й середня арифметична збільшиться (зменшиться) на теж число (А):

2) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити в одне й теж число (В) раз, то й середня арифметична відповідно збільшиться (зменшиться) в (В) раз:

4. Якщо всі частоти (ваги) поділити або помножити на яке-небудь число (К), то середня арифметична від цього не зміниться:

4. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:

,

тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант.

5) Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:

Використання першої і другої властивостей середньої арифметичної дозволяє значно спростити її обчислення. Цей метод в статистиці називають методом моментів, або метод відліку від умовного нуля. Розглянемо спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної методом моментів за даними попереднього прикладу.

Формула для знаходження середньої арифметичної способом моментів має вигляд:

,

де – момент першого порядку.

Визначимо момент першого порядку:

Підставляємо значення в формулу:

Отже, було отримано той самий результат, що й при обчисленні за звичайною формулою середньої арифметичної зваженої.