Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей.

Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно «хорошо» отображать закономерности развития процесса .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

Метод наименьших квадратов – один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке геодезических измерени.

Метод наименьших квадратов содержит в себе 2 основных способа: коррелатный и параметрический, которые при строгом уравнивании дают одинаковые результаты. Выбор способа обычно зависит от объема вычислений, определяемого в основном количеством совместно решаемых уравнений, т.е. конфигурацией сети.

Коррелатный способ более оптимален для свободных сетей и сетей с небольшим числом исходных пунктов и большим числом определяемых – по-скольку количество уравнений равно числу избыточных измерений.

Параметрический способ, наоборот, выгоден для сетей с большим числом исходных и малым числом определяемых, по-скольку количество уравнений будет равно числу необходимых измерений.

Идея коррелатного способа заключается в отыскании поправок к измеренным величинам через вспомогательные неопределенные множители, называемые коррелатами. Сущность уравнивания коррелатным способом состоит в том, что задачу нахождения минимума функции уравнения разложенного по ряду Тейлора решают по способу Лагранжа с определенными коррелатами, в результате чего получают коррелатные уравнения поправок (векторы поправок). Преобразовав уравнения поправок получают нормальные уравнения коррелат, через которые находят вероятнейшие значения поправок.

Параметрический способ подразумевает вычисление поправок не к измеренным величинам, а к каким-то приближенным значениям (параметрам), т.е. к конечным результатам уравнения, которыми в геодезических сетях являются координаты или высоты пунктов, и непосредственное получение вероятнейших значений параметров, минуя вероятнейшее значение измеренных элементов сети.

Метод наименьших квадратов был предложен К. Ф. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06). Первоначально этот метод использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.