Сглаживание временных рядов линейными и нелинейными фильтрами

Вычисление низкочастотной составляющей зашумленного временного ряда, которая, как правило, содержит информацию о его внутренних закономерных динамических свойствах, является одной из наиболее распространенных в приложениях задач обработки данных. Сложность этой задачи обусловлена тем, что подавление высокочастотных помех не должно сопровождаться существенными искажениями низкочастотного «полезного» сигнала. Дополнительную сложность в обработку данных могут вносить грубые сбои, которые должны автоматически исключаться при выполнении сглаживания временного ряда. В противном случае возникают недопустимые искажения его истинной динамики.

В лабораторной работе изучаются нелинейные фильтры, ориентированные на удаление выбросов в реализации временного ряда, и линейные сглаживающие фильтры. На модельных данных исследуются динамические и случайные ошибки обработки данных различными фильтрами, реализованными в пакете STATGRAPHICS Plus 5.1. Теоретические основы лабораторной работы изложены в разделах 5 и 8 учебного пособия.

В пакете STATGRAPHICS Plus 5.1 предоставляется возможность применить последовательно два фильтра для обработки временного ряда. Каждый из этих последовательно подключенных фильтров выбирается из следующего списка:

- Simple Moving Average (SMA) – простой фильтр скользящего

среднего,

- Spencer’s 15-Term MA – 15-точечный фильтр Спенсера,

- Spencer’s 21-Term MA – 21-точечный фильтр Спенсера,

- Henderson’s Weighted MA – фильтр Гендерсона взвешенного

скользящего среднего,

- EWMA – фильтр экспоненциально взвешенного скользящего

среднего (Exponential Weighted Moving Average, RC- фильтр

или фильтр Брауна),

- 3RSS, 3RSSH, 5RSS, 5RSSH, 3RSR – робастные медианные сглаживающие фильтры (Resistant Nonlinear Smoothing).

В обозначениях вариантов реализации робастных медианных сглаживающих фильтров первая цифра означает ширину окна просмотра входных данных, последующие символы имеют следующее содержание: R – сглаживание, S – процедура расщепления для устранения эффекта образования плоских участков на выходе медианного фильтра, SS – двукратное применение S-процедуры, H – сглаживание фильтром «взвешенного» среднего в окне ширины 3 с весовыми коэффициентами 0.25; 0.5; 0.25 (фильтр Хэннинга).

Фильтр EWMA, который в литературе часто называется фильтром Брауна (Brown), реализует следующий алгоритм сглаживания:

,

что соответствует решению разностного уравнения

.

Этот фильтр характеризуется коэффициентом усиления, равным 1.

В пакете STATSGRAPHICS Plus 5.1 параметром EWMA фильтра, определяющим его сглаживающие свойства, является  = 1-.