1.9 Индексы

Индекс - это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления. Каждый индекс включает данные за два периода: отчетный (сравниваемый, текущий) и базисный, который используется как база сравнения. Данные отчетного периода обозначают подстрочным значком 1, базисного - 0.

Индекс, рассчитанный по отдельным единицам изучаемой совокупности, называется индивидуальным и обозначается i. Сводный (общий) индекс отражает изменение обобщенных величин по всей совокупности и обозначается символом I.

Если при построении индекса исследуемый признак берется без учета связи его с другими признаками, то индекс называется простым и является оценкой только динамики признака.

Индекс называется аналитическим, если изучаемый признак рассматривается не изолированно, а во взаимосвязи с другими признаками. Помимо обобщенной характеристики динамики непосредственно несоизмеримых явлений (синтетическая функция индексов), аналитические индексы выполняют аналитическую функцию, т.е. позволяют измерить вклад отдельных факторов в совокупное изменение результата.

Сводные аналитические индексы в зависимости от методов построения подразделяются на агрегатные и средневзвешенные из индивидуальных.

Агрегатные индексы наряду с индексируемым признаком (признак, динамика которого изучается) содержат и признак-вес, который позволяет обобщить (соизмерить) разнородные элементы совокупности. Индексируемый признак при построении агрегатного индекса меняется: отчетный уровень сравнивается с базисным, признак-вес берется на неизменном фиксированном уровне либо базисного периода (по формуле Ласпейреса), либо отчетного периода (по формуле Пааше).

Методы построения индексов различных явлений одинаковы. Рассмотрим их построение на примере следующей системы признаков:

• объем продаж (физический объем реализации) (q);

• цена (р);

• товарооборот или выручка от реализации (w=qp).

Динамика признаков по отдельным элементам изучаемой совокупности может быть оценена с помощью индивидуальных индексов:

, , . (1.89)

где q₁, p₁, w₁ - объем продаж, цена и товарооборот по отдельным элементам совокупности в отчетном периоде; q₀, p₀, w₀ - объем продаж, цена и товарооборот в базисном периоде.

В целом по совокупности, состоящей из элементов, непосредственно несоизмеримых (различные виды продукции, товарные группы и т.д.), изменение физического объема реализации и цен характеризуется с помощью агрегатных индексов, формулы построения которых приведены в таблице 1.10.

Таблица 1.10 - Агрегатные индексы

Индексы позволяют определить относительное изменение цен, но оно не будет одинаковым, так как имеет различное экономическое содержание.

Индекс Пааше показывает, во сколько раз изменился уровень цен на продукцию текущего периода.

Индекс Ласпейреса показывает, во сколько раз подорожала бы или подешевела бы продукция базисного периода из-за изменения цен на нее в отчетном периоде.

Идеальный индекс Фишера рассчитывается как средняя геометрическая из индексов цен Ласпейреса и Пааше:

. (1.90)

Идеальный индекс Фишера используется при исчислении индексов цен на длительный период времени для сглаживания тенденции в структуре и составе объема продукции, в которых происходят значительные изменения. Его недостаткам является то, что он не имеет экономической интерпретации

Сводный индекс товарооборота является простым и рассчитывается по формуле:

(1.99)

Индекс товарооборота может быть найден и через взаимосвязь индексов (мультипликативная модель индексов):

. (1.100)

При этом для увязки индексов в систему веса в индексах первичных и вторичных признаков должны быть фиксированы на уровне разных периодов:

или (1.101)

Поскольку числитель и знаменатель агрегатных индексов имеют экономический смысл, нередко используются их разности. Так, например, разность числителя и знаменателя индекса товарооборота

(1.102)

характеризует абсолютный прирост (уменьшение.) товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным одновременно за счет:

а) изменения физического объема продаж;

б) изменения цен.

Измерить изолированное (элиминированное) влияние каждого из этих двух факторов можно через разность числителя и знаменателя соответствующих аналитических индексов.

Разность числителя и знаменателя индекса физического объема (по формуле Ласпейреса) показывает, как в абсолютном выражении изменился товарооборот за счет роста (сокращения) физического объема продаж:

(1.103)

Разность числителя и знаменателя индекса цен (по формуле Пааше) означает абсолютный прирост (уменьшение) товарооборота в результате роста (снижения) цен:

(1.104)

Абсолютные изменения за счет отдельных факторов в сумме дают общее абсолютное изменение результативного признака:

(1.105)

Эта же схема справедлива и для системы взаимосвязанных индексов, где индекс физического объема построен по отчетным весам (по формуле Пааше), а индекс цен - по базисным (по формуле Ласпейреса):

(1.106)

(1.107)

(1.108)

При проведении статистического анализа может определяться также доля каждого фактора в формировании общего изменения результата:

• доля прироста (уменьшения) товарооборота за счет изменения физического объема продаж:

; (1.109)

• доля прироста (уменьшения) товарооборота за счет изменения цен:

; (1.110)

При этом или 100%, если доли выражены в процентах.

Если информационная база не дает возможности проведения индексного анализа в агрегатной форме, индексы могут быть построены в форме средних из индивидуальных. Ниже приведены формулы некоторых средних индексов из индивидуальных.

Средний арифметический индекс физического объема:

, (1.111)

где d_w0 - доля товарооборота отдельных видов продукции (товарных групп)" в общем товарообороте базисного периода.

Средний гармонический индекс цен по формуле Пааше:

(1.112)

где d_w1 - доля товарооборота отдельных видов продукции (товарных групп) в общем товарообороте отчетного периода.

Средний арифметический индекс цен по формуле Ласпейреса:

. (1.113)

Индексный метод применяется в статистике также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. Эти задачи решаются с помощью системы взаимосвязанных индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних величин какого-либо признака в отчетном и базисном периодах:

. (1.114)

Как видно из формулы, индекс переменного состава характеризует изменение среднего уровня признака за счет влияния двух факторов:

1. изменения значений осредняемого признака (х) у отдельных единиц совокупности;

2. структурных изменений, под которыми понимается изменение доли отдельных единиц совокупности в общей их численности ( ).

Индекс постоянного (фиксированного) состава отражает изолированное действие первого фактора - показывает средний размер изменения изучаемого признака у отдельных единиц совокупности и строится как отношение средних взвешенных величин постоянного состава, т.е. с одними и теми же весами:

. (1.115)

Индекс постоянного состава может быть рассчитан и в агрегатной форме:

. (1.116)

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности на динамику среднего уровня признака:

. (1.117)

Индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов увязываются в следующую систему:

(1.118)

Если в индексах средних уровней в качестве весов используются удельные веса единиц совокупности в общей численности совокупности, т.е. показатели доли ( ), то система индексов может быть записана в следующем виде:

, , . (1.119)

Система индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов строится для изучения динамики среднего уровня цен, себестоимости, фондоотдачи, рентабельности, производительности труда, заработной платы и других вторичных признаков.

Помимо мультипликативной модели, на основе индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов может быть построено и аддитивное разложение, отражающее абсолютное изменение среднего уровня вторичного признака за счет отдельных, факторов. Так, общий абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности находится как разность числителя и знаменателя индекса переменного состава:

или . (1.120)

Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности за счет изменения значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности и за счет структурных изменений рассчитывается соответственно как разность числителей и знаменателей индексов постоянного состава и структурных сдвигов:

или . (1.121)

или . (1.122)

В общем виде аддитивное разложение имеет вид:

. (1.123)

Контрольные вопросы и задания:

1. Дайте определение индекса. Приведите примеры экономических индексов.

2. Объясните разницу между индивидуальными и общими индексами.

3. Что такое агрегатный индекс?

4. Какова роль средних индексов?

5. Какие факторы положены в основу различия агрегатных индексов Ласпейреса и Пааше?