1.7 Статистический анализ связей

В жизни все явления взаимосвязаны. Обычно нас интересуют непосредственные факторы, измерение их воздействия на результат, а также ранжирование факторов по интенсивности их влияния. Особенность связей в экономике и социальной сфере состоит в том, что их закономерный характер проявляется лишь в массе явлений - в среднем по совокупности. Такого рода связи называют статистическими. Они проявляются в том, что при изменении значения фактора изменяется распределение результативного признака. Изменяются и условные средние значения результата (таблица 1.9).

Таблица 1.9 - Проявление статистической и корреляционной связи

При статистической связи разным значениям одной переменной (фактора, х) соответствуют разные распределения другой переменной (результата, у).

Корреляционная связь - частный случай статистической связи, при котором разным значениям переменной соответствуют разные средние значения другой переменной.

Корреляционная связь предполагает, что изучаемые переменные имеют количественное выражение.

Статистическая связь - более широкое понятие, она не включает ограничений на уровень измерения переменных. Переменные, связь между которыми изучается, могут быть как количественными, так и неколичественными.

Если изучается связь между двумя признаками, налицо парная корреляция. Если изучается связь между многими признаками - множественная корреляция.

Парная корреляция - это изучение корреляционной связи между двумя переменными.

Прежде всего, чтобы проверить, как проявляется связь между двумя переменными, нужно построить график-поле корреляции.

Поле корреляции - это поле точек, на котором каждая точка соответствует единице совокупности; ее координаты определяются значениями признаков х и у.

По характеру расположения точек на поле корреляции делают вывод о наличии или отсутствии связи, о характере связи (линейная или нелинейная, а если связь линейная-то прямая или обратная).

В случае если точки корреляционного поля обнаруживают определенную направленность в своем расположении, можно говорить о наличии связи. При этом корреляционное поле можно оконтурить эллипсом (корреляционный эллипс).

Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

Если изучается связь между двумя переменными, причем их можно рассматривать как фактор и результат, т.е. вероятно наличие зависимости, то эту зависимость целесообразно представить в математическом виде. С этой целью подбирают функцию у =f(х), которая наилучшим образом соответствует исходным данным, иначе говоря, обеспечивает наилучшую аппроксимацию поля корреляции. При выборе типа функции руководствуются характером расположения точек на поле корреляции, а также содержанием изучаемой связи. Так, например, при изучении зависимости себестоимости единицы продукции (у) от объема производства (х) теоретический анализ показывает, что такая зависимость должна описываться уравнением гиперболы: , поскольку при увеличении объема производства себестоимость снижается до определенного предела, по достижении которого ее дальнейшего снижения не происходит.

Математически описание зависимости в среднем изменений переменной у от переменной х называется уравнением парной регрессии.

Чаще всего используется линейное уравнение парной регрессии:

, (1.46)

где - среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака х; а - свободный член уравнения регрессии; b - коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на одну единицу его измерения.

При такой интерпретации коэффициента регрессии предполагается, что сила воздействия х на у постоянна при любых значениях х.

Знак при коэффициенте регрессии соответствует направлению зависимости у от х:

b>0 - зависимость прямая;

b < 0 - зависимость обратная.

Если в исходных данных имеется нулевое значение х, то свободный член а показывает среднее значение у при х=0.

Во всех остальных случаях а - доводка, обеспечивающая равенство:

. (1.46)

В этом случае значение а не интерпретируется. Знак при свободном члене а зависит от соотношения между интенсивностью вариации (ν) переменных х и у:

если ν _у > ν _х, то а < 0;

если ν _у< ν _х, то а > 0,

где а и b-параметры уравнения парной регрессии.

Если необходимо отразить нелинейность зависимости у от х, то могут быть использованы следующие уравнения регрессии:

, (1.47)

, (1.48)

, (1.49)

и т.д. (1.50)

Выбираемые функции должны быть линейны по параметрам. Перечисленные регрессии приводятся к линейному виду (линеаризуются) путем замены переменных или логарифмирования.

Параметры линейного уравнения парной регрессии находятся методом наименьших квадратов (МНК). Исходное условие МНК формулируется следующим образом:

, (1.51)

т.е. должна быть обеспечена минимальность суммы квадратов отклонений фактических, значений результативной переменной от ее теоретических значений, получаемых на основе уравнения регрессии.

Для отыскания значений параметров а и b, при которых f(а,b) принимает минимальное значение, приравниваем нулю первые частные производные функции:

, (1.52)

(1.53)

Преобразуя полученные уравнения, получаем систему нормальных уравнений МНК для прямой:

(1.54)

Отсюда:

, (1.55)

где Δ - определитель системы; Δ_a - частный определитель, получаемый путем замены коэффициентов при а членами правой части системы уравнений; Δ_b - частный определитель, получаемый путем замены коэффициентов при b членами правой части системы уравнений.

. (1.56)

Тогда

; (1.57)

. (1.58)

Можно найти параметр а, разделив на n первое уравнение системы:

, (1.59)

отсюда

. (1.60)

Параметр b может быть выражен следующим образом:

. (1.61)

Так как знаменатель этого выражения есть не что иное, как дисперсия переменной х, формула коэффициента регрессии b может быть записана следующим образом:

. (1.62)

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

Отклонения от средних по одной и другой переменным лежат в основе измерения корреляционной связи. В случае линейной связи ее теснота измеряется с помощью коэффициента парной корреляции:

. (1.63)

Если знаки отклонений от средних совпадают, то связь прямая (r_xy > 0), если знаки отклонений не совпадают, то связь обратная (r_xy < 0). Разделив числитель и знаменатель на n (число наблюдений), получим:

(1.64)

или

. (1.65)

Коэффициент парной корреляции измеряется от -1 (случай полной обратной связи) до 1 (случай полной прямой связи). По абсолютной величине: 0≤|r_xy|≤1. Чем ближе значение r_ху к единице, тем теснее связь, чем ближе значение r_ху к нулю, тем слабее связь.

При |r_xy|<0,30 связь считается слабой, при |r_xy| = 0,3 - 0,7 - средней, при |r_xy|>0,7-сильной, или тесной.

Коэффициент корреляции - симметричная мера связи, т.е. это мера взаимосвязи между х и у. Поэтому r_ху = r_ух.

Квадрат коэффициента корреляции представляет собой коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации = r².

Коэффициент детерминации часто более предпочтителен для измерения связи, так как он может быть использован для измерения не только линейных, но и нелинейных связей. Коэффициент детерминации может быть выражен в процентах. Коэффициент детерминации принимает значения в интервале [0, 1]. Чем ближе значение к 1, тем теснее связь, и наоборот.

Коэффициент регрессии можно найти на основе коэффициента корреляции. Поскольку

, , (1.66)

то

. (1.67)

В отличие от коэффициента корреляции коэффициент регрессии является асимметричной характеристикой связи: он характеризует не просто связь между переменными, а зависимость изменения у от х, но не наоборот, т.е. b_ух ≠ b_ху.

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

. (1.68)