Глава 4. Основы теории стоимости денег во времени

В теории и практике оценки недвижимости элементы финансовой математики используются в основном для анализа инвестиций в недвижимость, а также для расчетов по доходному подходу к оценке, важнейший принцип которого - принцип ожиданий, подразумевающий, что оценочная стоимость - это текущая (настоящая) стоимость (PV-present value) всех будущих выгод (доходов) от собственности, а также возможной ее продажи в конце периода функционирования. Это связано с тем, что оценщик оперирует денежными потоками в различные периоды времени. Количественные изменения стоимости денег во времени описываются шестью функциями сложного процента.

Функции сложных процентов основаны на концепции стоимости денег во времени: количество денег, получаемое или ожидаемое как доход в будущем, всегда имеет меньшую стоимость, чем равное количество денег, имеющихся в наличии в данный момент. Степень выигрыша во времени можно рассматривать как функцию риска, ожидаемого снижения покупательной способности (инфляции), снижения ликвидности, а также издержек, связанных с получением ссуды или управлением капитала.

Основными операциями, позволяющими сопоставлять разновременные деньги, являются операции накопления и дисконтирования (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Операции накопления и дисконтирования

Накопление – процесс определения будущей стоимости денег.

Дисконтирование – процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

Введем обозначения, используемые в шести функциях сложного процента:

РV – рresent value, текущая (приведенная) стоимость единицы;

FV – future value, будущая стоимость единицы;

i - номинальная (годовая) ставка процента. В случае выполнения операции накопления эта ставка называется ставкой дохода на капитал, при дисконтировании – ставкой дисконта или ставкой дисконтирования;

i_эф - эффективная или фактическая процентная ставка за период, показывающая отношение чистого дохода к вложенному капиталу;

Т - число лет;

n - число платежных периодов в году;

PMT – payment, аннуитет - серия равномерных равновеликих платежей, осуществляемых в течение Т·n периодов.

Финансовые расчеты могут основываться на простом или сложном проценте. Разница в расчетах по простому и сложному процентам заключается в том, что при простом проценте ставка начисляется каждый раз на первоначально вложенный капитал, при сложном проценте каждое последующее начисление ставки осуществляется от накопленной в предшествующий период суммы.

Все дальнейшие рассуждения будут построены на эффекте сложного процента.

Процентная ставка задается, как правило, как номинальная годовая ставка. В том случае, если начисление процента осуществляется чаще, чем 1 раз в год, например, ежеквартально или ежемесячно, рассчитывается эффективная или фактическая годовая ставка по формуле:

Например, при 12 %-й номинальной годовой ставке в случае ежеквартального начисления процента годовая эффективная ставка будет равна:

(1 + 0,12/4)⁴ – 1 = 0,1255, или 12,55 %.

Чем чаще производится начисление процента, тем выше эффективная годовая ставка. Она представляет собой процентное отношение дохода на капитал в конце года к величине капитала в начале года.

Для операций финансового анализа разработаны специальные таблицы шести функций, содержащие предварительно рассчитанные по сложному проценту факторы (коэффициенты):

– накопленной суммы (будущей стоимости) денежной единицы (колонка 1);

– будущей стоимости аннуитета (колонка 2);

– фонда возмещения (колонка 3);

– текущей стоимости единицы (колонка 4);

– текущей стоимости обычного аннуитета (колонка 5);

– взноса на амортизацию единицы (колонка 6).

Таблицы разработаны для годового, ежеквартального, полугодового и ежемесячного начисления процента.

На практике для удобства расчетов используются специальные финансовые калькуляторы.

1-я функция: аккумулированная (будущая) сумма единицы (фактор накопления капитала)

Аккумулированная сумма единицы - будущая стоимость суммы, до которой вырастет одна денежная единица (рубль, $), если ее депонировать или инвестировать на количество периодов времени Т с учетом накопления процентов по ставке i (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Определение будущей стоимости платежа

Базовые формулы:

а) при начислении процентов один раз в год:

FV = PV(1 + i)^Т

б) при более частом, чем один раз в год, начислении процентов, т. е. при n раз начислений в год:

Например, Вы положили в банк 100 денежных единиц на 5 лет при ежегодном начислении процентов по 10 % ставке. Сколько денег вы снимете со счета через 5 лет (табл. 4.1)?

Таблица 4.1.

Расчет будущей стоимости платежа

Условия задачи:

i = 10%;

Т = 5

PV=100;

FV - ?

Решение по формуле: FV=100(1+0,1)⁵=161,05

Данная функция на практике используется для определения:

• будущей стоимости инвестиций,

• общей суммы кредита по «шаровому платежу»,

• накопленной на депозитном счете суммы.