logo
ВПМ 2 / МЕТОДИЧКА ТВ вп

2. Основні формули і означення

2.1. КОМБІНАТОРИКА

Комбінаторика вивчає методи підрахунку кількості комбінацій, підкорених певним умовам, які можна утворити з елементів заданої скінченої множини будь-якого походження.

Групи елементів, які відрізняються порядком або складом елементів, називаються сполуками. Вони бувають трьох типів: розміщення, перестановки, комбінації.

Розміщення

Розміщеннямизnелементів поназиваються будь-які впорядкованіелементні підмножиниn-елементної множини, що різняться одна від одної або своїми елементами, або їхнім порядком (якщо вибрані елементи не повторюються, то маємо розміщення без повторень, а якщо повторюються – розміщення з повтореннями).

Формули для числа розміщень

Без повторень

З повтореннями

Приклад. Кількість різних тризначних телефонних номерів, які можна скласти з цифр від 0 до 9 так, щоб у запису номера всі цифри були різні,

Приклад. Кількість різних тризначних телефонних номерів, які можна скласти з цифр від 0 до 9, якщо цифри в числі можуть повторюватися,

Перестановкамиk-елементної множини називаються їїk-елементні впорядковані підмножини, що відрізняються тільки порядком елементів (якщо всі елементи заданої множини різні – маємо перестановки без повторень, а якщо в заданій множині елементи можуть повторюватися, серед якихповторюєтьсяраз,разів, …,–разів, то маємо перестановки з повтореннями).

Формули для числа перестановок

Без повторень

З повтореннями

де

Приклад.Скільки різних шестизначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторюючи ці цифри в одному числі?

Приклад. Скількома способами можна переставити букви у слові “математика”?

Комбінації (сполучення)

Комбінаціями (сполученнями) без повтореньзnелементів поназиваються будь-якіk-елементні підмножиниn-елементної множини, що різняться між собою принаймні одним елементом. Порядок елементів у сполученні не є істотним.

Комбінаціями (сполученнями) з повтореннямизnелементів (необов’язково різних) поназиваються набори цих елементів, до кожного з яких входятьелементів і які відрізняються хоча б одним елементом або тим, що принаймні один елемент входить в різні сполучення різне число разів.

Формули для числа комбінацій (сполучень)

Без повторень

З повтореннями

,

Приклад. З групи, що складається з 25 студентів, можна виділити 5 осіб для чергування по академіїспособами, тобто

.

Приклад.Якщо у продажу є квіти чотирьох сортів, то різних букетів, що складаються з 7 квіток, можна скласти

Деякі властивості числа сполучень (без повторень):

  1. (зокрема,).

  2. .

  3. .

Зауваження. Розміщення, перестановки та сполучення пов’язані між собою рівністю

.

Правило множення.Нехай необхідно виконати одну за одноюдій. Якщо першу дію можна виконатичислом способів, другу -числом способів і так до-ї дії, яку можна виконатичислом способів, то всідій разом можуть бути виконанічислом способів.

Схема розв’язування комбінаторних задач

Вибір правила

Правило суми

Правило добутку

Якщо елемент можна вибратиспособами, а після цього елемент–способами, тоабоможна вибратиспособами.

Якщо елемент можна вибратиспособами, а елемент–способами, тоіможна вибратиспособами.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4