Тема 4. Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Література: [3], глава 6, § 6.3;[4], глава 2, § 3,4;[5], глава 4, § 2,3;[6], глава 5, § 4;[7], глава 10, § 32;[9], глава 20, § 6;[12], глава 2, § 2.1.

Наслідками теорем додавання та множення ймовірностей є формули повної ймовірності та Байєса. Розглянемо приклад.

Приклад.У комп’ютерному магазині за рік продано 1000 моніторів, 300 принтерів і 100 сканерів. Протягом гарантійного терміну в сервісний центр надходять на ремонт у середньому 0,5% моніторів, 1% принтерів і 1,5% сканерів. 1) Визначити ймовірність того, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійде протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. 2) Навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійшла протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Яка ймовірність того, що це монітор?

Розв’язання. 1) НехайА– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійде протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Введемо гіпотези:Н₁– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару – монітор;Н₂– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана одиниця товару – принтер;Н₃– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана одиниця товару – сканер. ПодіїН₁, Н₂, Н₃утворюють повну групу попарно несумісних подій. За умовою задачі

,,.

Перевірка: .

Крім того, маємо умовні ймовірності ,,.

За формулою повної ймовірності

.

2) Нехай тепер А– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійшла протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Введемо ті ж самі гіпотезиН₁, Н₂, Н₃,що й у першому пункті задачі. Тоді за формулою Байєса

.

Неважко бачити, що після того, як стало відомо, що подія Авідбулася, оцінка гіпотезиН₁суттєво змінилася: тоді як її апріорна оцінкаскладалаапостеріорна оцінкаскладає вжетобто оцінка гіпотезиН₁зменшилася майже на 21%.