Тема 2. Безпосереднє обчислення ймовірностей подій

Література : [3], гл. 6, § 6.3;[4], гл. 1, § 1,2;[5], гл. 1; [6], гл. 5, § 1;[7], гл. 10, § 31, 32;[9], гл. 20, § 1, 2;[12], гл. 2, § 2.1; [13].

Наведемо приклади обчислення ймовірностей подій із застосуванням класичного означення ймовірностей та формул комбінаторики.

Приклад 1.Кидають два гральних кубика. Яка ймовірність того, що сума очок, що випали, буде парною?

Розв’язання.Позначимо черезАподію, ймовірність якої треба знайти. За означенням, ймовірність. Кількість усіх можливих комбінацій, що взагалі можуть бути у цьому випадку.

Події Абудуть сприяти=18 комбінацій, у яких сума очок буде парною, а саме:1-1, 1-3, 1-5, 2-2, 2-4, 2-6, 3-1, 3-3, 3-5, 4-2, 4-4, 4-6, 5-1, 5-3,5-5, 6-2, 6-4, 6-6.

Таким чином,

.

Приклад 2.В урні містяться 6 білих і 4 чорних кульки. З урни виймають навмання одразу 5 кульок. Знайти ймовірність події:А – усі кулькибілі;В – чотири кулькибілі та одна чорна.

Розв’язання.Число рівноможливих незалежних подій дорівнює

.

Події Асприяють, а подіїВ–=наслідків експерименту. Тому

,

.

Приклад 3.У коробці містяться шість однакових, занумерованих кульок. Навмання по одній виймають усі кульки. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих кульок розташуються за зростанням.

Розв’язання.НехайА– подія, ймовірність якої треба знайти. Результатами експерименту є перестановки без повторень з 6 елементів. Число усіх результатів експерименту дорівнює. Для подіїАсприятливим є лише один результат (номери зростатимуть). Отже,

.

Приклад 4.Слово “інтеграл” складено з літер на картках розрізної азбуки. З них навмання виймають три картки і кладуть в ряд одну за однією в порядку появи. Яка ймовірність того, що при цьому складеться слово “гра”?

Розв’язання.При утворенні простору елементарних подійрозглядуються усі впорядковані 3-елементні підмножини 8-елементної множини (букви, що утворюють слово “інтеграл”). Тому, а сприятливими для шуканої подіїАє лише один випадок, коли підряд буде вийнято букви “г”, “р” і “а”. Отже,

.