Тема 3. Теореми додавання і множення ймовірностей

Література: [3],гл. 6, § 6.4;[4],гл. 2, § 1,2;[5],гл. 2,3;[6],гл. 5, § 2;[7], гл. 10, § 32;[9], гл. 20, § 3,4,5;[12],гл. 2, § 2.1;[13].

При розв’язанні практичних задач часто необхідно визначати ймовірності досить складних подій, безпосереднє обчислення яких пов’язане зі значними труднощами або взагалі неможливе. У таких випадках складні події розглядають у вигляді комбінацій простіших подій. Для цього застосовують операції додавання та множення. Студент повинен вміти відрізняти сумісні та несумісні, залежні та незалежні події. Також важливим є поняття умовної ймовірності подій.

Приклад 1. У лотереї 1000 білетів, з них на один білет випадає виграш 500 грн., на 10 білетів – виграші по 100 грн., на 50 білетів – виграші по 20 грн., на 100 білетів – виграші по 5 грн. Решта білетів невиграшні. Знайти ймовірність виграшу на один білет не менш як 20 грн.

Розв’язання.Позначимо події:А– виграш не менш як 20 грн.;А₁– виграш 20 грн.;А₂ - виграш 100 грн.;А₃ – виграш 500 грн.

Подія А виражається через суму трьох несумісних подійА₁, А₂, А₃, тобтоА=А₁+А₂+А₃. Застосовуючи теорему додавання, дістанемо

,

або

.

Зауваження.Зверніть увагу на те, що теорему додавання застосовують до розв’язування тих задач, в яких йдеться про появу або подіїА₁, або подіїА₂, ..., або подіїА_n.

Приклад 2. Ймовірність попадання в мішень одним стрільцем становить 0,8, іншим – 0,7. Стрільці незалежно один від одного зробили по одному пострілу. Яка ймовірність того, що принаймні один стрілець влучить в мішень?

Розв’язання.Нехай подіяА– влучення першого стрільця в ціль, подіяВ– другого, а подіяС– шукана подія. ТодіС=А+В.Враховуючи, що подіїАіВ – сумісні, проте незалежні, дістаємо:

Приклад 3.У складальника є 3 конусних та 7 еліптичних валиків. Він бере один раз 2 валики, а потім ще 2. Яка ймовірність того, що взяті валики еліптичні?

Розв’язання.Нехай подіяАполягає в тому, що перший раз взяті валики еліптичні, подіяВ – другий раз взяті теж еліптичні валики.

Оскільки події АйВзалежні, то за теоремою добутку ймовірностей залежних подій

Приклад 4.Ймовірність у студента другого курсу перейти на третій дорівнює 0,9, а ймовірність закінчити академію – 0,8. З якою ймовірністю можна стверджувати, що студент третього курсу закінчить академію?

Розв’язання.Нехай подіяА– перехід на третій курс, подіяВ – закінчення академії. Ймовірність цих подій, згідно з умовою,Р(А)=0,9,Р(В)=0,8. ПодіїАіВзалежні, оскільки для того, щоб закінчити академію, треба спочатку перейти на третій курс. Отже,

звідки

Приклад 5.Стрілецьвлучає в ціль з ймовірністю, стрілецьз ймовірністю, стрілецьз ймовірністю. Знайти ймовірність хоча б одного попадання (подіяА) при одному пострілі кожного зі стрільців.

Розв’язання.Обчислимо ймовірності протилежних подій, які полягають в тому, що кожен зі стрільців не влучить в ціль:

;;.

Ймовірність того, що жоден зі стрільців не влучить в ціль, тобто ймовірність події дорівнює

Тоді ймовірність того, що хоча б один зі стрільців влучить в ціль

.