2.5. Послідовні незалежні випробування. Граничні теореми

Нехай ймовірність появи події в кожному знезалежних аналогічних дослідівє однаковою і незалежною від результатів інших спроб тієї ж серії (ймовірність протилежної події). Ймовірність того, що вдослідах рівноразів буде успіх, тобто поява подіїА,обчислюється заформулою Бернуллі

.

Ймовірність того, що подія відбудеться не менш ніжразів, дорівнює

.

Ймовірність того, що подія настане хоча б один раз, обчислюється за формулою

.

Якщо достатньо велике, а– достатньо мале числа, наприклад,, аоднак при цьому, то найчастіше використовуютьасимптотичну формулу Пуассона

,

де - середнє число появи подіїввипробуваннях.

Формулу Бернуллі практично застосовують при відносно невеликих значеннях числа незалежних випробувань . Якщодостатньо велике, то користування цією формулою стає досить складним, бо необхідно виконувати громіздкі дії над великими числами. У цьому випадку слід застосовувати наближені (асимптотичні) формули.

Локальна теорема Муавра-Лапласа. Ймовірність того, що унезалежних випробуваннях, у кожному з яких подіявідбувається з однаковою ймовірністю, подіянастане рівноразів, наближено дорівнює

,

де ,.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.Ймовірність того, що внезалежних спробах, у кожній з яких ймовірність появи подіїстала і дорівнює, подіянаступить не меншразів і не більшразів, наближено дорівнює

,

де .

Інтеграл не виражається в елементарних функціях, тому для обчисленнякористуються функцією(інтегральна функція Лапласа). Тоді.

Зауваження. Функціїтатабульовані для практичних цілей ([4], [5], [6]). Слід пам’ятати, щопарна, тобтоі має максимум при, анепарна, тобто. В таблицях значення функціїнаведені для; деякі з її значень:.