8.7. Экономическая интерпретация решения задачи линейного программирования

Любая экономико-математическая модель лишь упрощенно, грубо отображает реальный экономический процесс, и это упроще­ние существенно сказывается на получаемых результатах. Исследователя вряд ли устроила бы заключительная симплекс-таблица, из которой можно было бы получить только список переменных и их значения. На самом же деле результирующая симплекс-таблица «насыщена» весьма важными данными, лишь небольшую часть ко­торых составляют оптимальные значения переменных. Из симп­лекс-таблицы можно получить информацию относительно:

• оптимального решения;

• статуса ресурсов;

• ценности каждого ресурса;

• чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интен­сивности потребления ресурсов.

Сведения, относящиеся к первым трем пунктам, можно извлечь непосредственно из итоговой симплекс-таблицы. Получение ин­формации, относящейся к четвертому пункту, требует дополни­тельных вычислений.

Для иллюстрации возможностей получения указанной выше информации из заключительной симплекс-таблицы воспользуемся опять задачей об ассортименте продукции (пример 7.2). Эта задача формулируется следующим образом:

максимизировать: (доход);

при следующих ограничениях: (сырьё А),

(сырьё В),

(спрос),

(спрос).

Оптимальная симплекс – таблица имеет вид:

В таблице - выравнивающие переменные.

Оптимальное решение

С точки зрения практического использования результатов ре­шения задач линейного программирования классификация пере­менных на базисные и небазисные не имеет значения и при анали­зе оптимального решения может не учитываться. Переменные, от­сутствующие в симплекс-таблице в столбце «базисные перемен­ные», обязательно имеют нулевое значение. Значения остальных переменных приводятся в столбце «свободные члены».

При интерпретации результатов оптимизации в задаче об ас­сортименте продукции нас прежде всего интересуют объемы про­изводства продукции П₁ и П₂, т. е. значения управляемых перемен­ных x₁ и х₂- Используя данные, содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можно предста­вить в следующем виде:

Статус ресурсов

В п. 7.4 ресурсы относились либо к дефицитным либо к неде­фицитным — в зависимости от того, полное или частичное их ис­пользование предусматривает оптимальное решение задачи. Сейчас цель состоит в том, чтобы получить соответствующую информа­цию непосредственно из оптимальной таблицы.

В модели, построенной для задачи об ассортименте продукции, фигурируют четыре ограничения со знаком «». Первые два огра­ничения (определяющие допустимый расход исходного сырья) представляют собой истинные ограничения на ресурсы. Третье и четвертое ограничения относятся к спросу. Эти требования можно рассматривать как ограничения на соответствующие ресурсы, так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению представительства предприятия на рынке сбыта. В отношении финансовых средств такая ситуация имеет те же последствия, что и увеличение запасов ресурсов, требующее распределения дополни­тельных вложений.

Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов (дефицит­ный или недефицитный) для любой модели линейного программи­рования можно установить непосредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая внимание на значения выравниваю­щих переменных. Применительно к нашей задаче можно привести следующую сводную таблицу:

Положительное значение выравнивающей переменной указы­вает на неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицитным. Если же выравнивающая переменная равна 0, то это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Из сводной таблицы видно, что ресур­сы 2 и 4 связаны с запасами сырья В и возможностями сбыта про­дукции П₂. Поэтому любое увеличение их запасов сверх установ­ленного' максимального значения приведет лишь к тому, что они станут еще более недефицитными. Оптимальное решение задачи при этом останется неизменным.

Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить ре­шение (увеличить доход), - это сырье А и возможности по сбыту продукции П₁, поскольку из оптимальной симплекс-таблицы вид' но, что они дефицитные. В связи с этим логично поставить вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем разделе этой главы, где рассматривается ценность различных ресурсов.

Ценность ресурса

Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения опти­мального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса. Графическая интерпретация этого определения применительно к условиям задачи об ассортименте продукции бы­ла дана в п. 8.4 (вторая задача на чувствительность). Графический анализ показывает, что ценность ресурсов 1, 2, 3 и 4 равна:

U₁ = 1,4 д. е. на единицу прироста запасов ресурса сырья А;

U₂ = О, U₄ = 0;

U₃ = 0,2 д. е. на единицу прироста превышения производства продукции П₁ по отношению к объему производства про­дукции П₂

Эта информация представлена в оптимальной таблице. Обра­тим внимание на значения коэффициентов Z-уравнения, стоящих при переменных начального базиса у₁, у₂, у₃ и у₄. Значения указан­ных коэффициентов (1,4; 0; 0,2; 0) в точности соответствуют зна­чениям U₁, U₂ U₃ U₄.

Хотя в п. 8.4 были даны необходимые разъяснения, связанные с определением ценности ресурсов, покажем, каким образом ана­логичный результат можно получить непосредственно из симп­лекс-таблицы.

Рассмотрим Z-уравнение оптимальной симплекс-таблицы ре­шения задачи об ассортименте продукции:

Положительное приращение переменной относительно ее текущего нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z, причем коэффициент пропорциональности равен 1,4 д. е. Однако из первого ограничения модели следует

т. е. увеличение эквивалентно снижению запаса ресурса 1 (сырья А). Отсюда следует, что уменьшение запаса первого ресурса вызы­вает пропорциональное уменьшение целевой функции Z c коэффи­циентом пропорциональности, равным 1,4 д. е. Аналогичные рас­суждения справедливы и для ресурса 3.

В отношении ресурсов 2 и 4 было установлено, что их ценность равна 0 (U₂ = U₄=0). Этого и следовало ожидать, так как ресурсы .2и4 оказались недефицитными. Такой результат получается вся­кий раз, когда соответствующие выравнивающие переменные име­ют положительное значение.

Несмотря на то что ценность различных ресурсов, определяемая значениями переменных U_i была представлена в стоимостном (д. е.) выражении, ее нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов. На самом де­ле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу и количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения Z. При изменении огра­ничений модели соответствующие экономические оценки будут ме­няться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать такие термины, как теневая цена или двойственная оценка. Заметим, что теневая це­на характеризует интенсивность улучшения оптимального решения Z. Однако при этом не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурсов, при которых интенсивность улучшения целевой функции остается постоянной. Для большинства практических ситу­аций логично предположить наличие верхнего предела увеличения запасов, при превышении которого соответствующее ограничение становится избыточным, что в свою очередь приводит к новому ба­зисному решению и соответствующим ему новым теневым ценам. Ниже определяется интервал значений запасов ресурса, при которых соответствующее ограничение не становится избыточным.

Максимальное изменение запаса ресурса

При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, обычно используются двойственные оценки (теневые цены). Чтобы определить интервал значений изме­нения запаса ресурса, при которых двойственная оценка данного ре­сурса, фигурирующая в заключительной симплекс-таблице, остается неизменной, необходимо выполнить ряд дополнительных вычисле­ний. Положим, что в задаче об ассортименте продукции запас пер­вого ресурса (сырья А) изменился на т. е. запас сырья А составит (9 + ) единиц. Введем это изменение в начальную симплекс-таб­лицу и затем выполним всю последовательность вычислений.

Поскольку элементы правых частей ограничений никогда не используются в качестве разрешающих, то очевидно, что на каж­дой итерации вычислений будет оказывать влияние только на значения элементов столбца «свободные члены».

Результаты вычислений элементов столбца «свободные члены» сведены в следующую таблицу:

Все изменения элементов столбца «свободные члены» опре_; ляются непосредственно по данным, содержащимся в симплекс-таблицах. Каждый элемент столбца «свободные члены» представля­ет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена, линейно зависящего от ,. Постоянные соответствуют числам, которые фи­гурируют в оптимальной симплекс-таблице до введения , в столб­це «свободные члены». Коэффициенты при , во вторых слагаемых равны коэффициентам при у₁ в оптимальной симплекс-таблице.

Заметим, что при анализе изменений в правых частях второго, третьего и четвертого ограничений нужно пользоваться коэффици­ентами при переменных у₂, y₃, y₄ соответственно.

Так как введение сказывается лишь на правой части ограни­чений (на элементах столбца «свободные члены»), изменение запа­са ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому не может принимать значений, при которых какая-либо из базисных переменных становится отрицательной. Из этого следует, что величина должна быть ограничена таким интервалом значе­ний, при котором выполняется условие неотрицательности правых частей ограничений в результирующей симплекс-таблице, т. е.:

(8.51)

(8.52)

(8.53)

(8.54)

Для определения допустимого интервала изменения рассмо­трим два случая.

Случай 1: > 0.

Соотношения (8.51) и (8.54) всегда выполняются при . Соотношения (8.52) и (8.53) определяют следующие предельные значения . Таким образом, все четыре соотноше­ния выполняются при .

Случай 2: < 0.

Соотношения (8.52) и (8.53) выполняются при < 0. Соотно­шения (7.51) и (7.54) справедливы при соответ­ственно.

Таким образом, оба соотношения справедливы при .

Объединяя результаты, полученные для обоих случаев, можно сделать вывод, что при решение рассматриваемой сис­темы всегда будет допустимым. Любое значение , выходящее за предел указанного интервала (т.е. уменьшение запаса сырья А бо­лее чем на 7 единиц или увеличение более чем на 3 единицы), при­ведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных.

Анализ на чувствительность оптимального решения к вариации коэффициентов целевой функции

В п. 8.4 на основе графического представления модели было показано, что при определенных значениях изменения коэффици­ентов целевой функции оптимальные значения переменных оста­ются неизменными (хотя оптимальное значение Z при этом меня­ется). Возвращаясь к этому вопросу, покажем, каким образом ин­тересующую нас информацию можно получить из данных, содер­жащихся в оптимальной симплекс-таблице.

Следует отметить, что уравнение целевой функции также не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому любые из­менения коэффициентов целевой функции окажут влияние только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это означает, что такие изменения могут сделать полученное решение неопти­мальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интервалы изменений коэффициентов целевой функции, при которых опти­мальные значения переменных остаются неизменными.

Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле­ния, положим, что доход, получаемый с единицы продукции П₁, изменяется от 3 до 3 + где может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае при­нимает следующий вид:

Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для получения оптималь­ной симплекс-таблицы, то последнее -уравнение будет выгля­деть следующим образом:

Это уравнение (строка целевой функции) отличается от Z-уравнения до введения только наличием членов, содержащих . Ко­эффициенты при равны коэффициентам при соответствующих переменных в x₁ - уравнении (x₁-строка) симплекс-таблицы для по­лученного ранее оптимального решения:

Мы рассматриваем x₁-уравнение, так как коэффициент именно при этой переменной в выражении для целевой функции в началь­ной симплекс-таблице изменился на .

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизмен­ными при значениях удовлетворяющих условию неотрицатель­ности (задача на отыскание максимума) всех коэффициентов при свободных переменных в Z-уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства:

Из первого неравенства получаем, что , а из второго сле­дует, что . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента .

Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функ­ции при переменной x₁ до значения, равного , или при его увеличении до оптимальные значения переменных ос­таются неизменными. Этот вывод совпадает с результатом, полу­ченным в п. 7.4.

Следует отметить, что оптимальное значение Z будет изменять­ся в соответствии с выражением (12,8 + 2,4 ), где .

Мы рассмотрели случай изменения коэффициента при базис­ной переменной x₁. В случае изменения коэффициента при сво­бодной переменной в целевой функции происходит изменение ко­эффициента только при данной переменной в оптимальной симп­лекс-таблице. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент при свободной переменной y₁ (первая выравнивающая переменная) изменяется от 0 до . Выполнение преобразова­ний, необходимых для получения заключительной симплекс-таб­лицы, приводит к следующему результирующему Z-уравнению:

Из приведенного фрагмента заключительной симплекс-табли­цы видно, что единственное отличие от Z-уравнения до введения состоит в том, что коэффициент при у₃ уменьшился на . Та­ким образом, коэффициент при свободной переменной в результи­рующем Z-уравнении нужно уменьшить на ту же величину, на ко­торую он увеличивался в исходном Z-уравнении.