Итоговая таблица

Изменение запасов ресурсов

Значение двойственной оценки того или иного ресурса показы­вает, насколько возросло бы значение целевой функции, если бы объем данного ресурса (запас) увеличился на 1 ед. На основании вышеизложенных свойств двойственных оценок можно записать

следующее:

(8.71)

где u₁— двойственная оценка i-го ресурса;

— приращение i-го ресурса;

— изменение целевой функции.

В нашем примере увеличение сырья А на 1 ед. привело бы к росту Z_max на 1,4 ед. ().

Двойственная оценка для недефицитного ресурса равна нулю, так как ресурс используется не полностью и увеличение его запа­сов () не повлияет на оптимальное решение. В нашем примере и₂ = и₄ = 0 , следовательно, ресурсы 2 и 4 недефицитные. Избыток ресурса 2 (сырья В) составляет 3 ед. (х₄ = 3 ед.), а ресурса 4 — 0,6 ед. (х₆= 0,6 ед.).

Используя аналитическое выражение (8.71), мы можем выявить только направление деятельности по устранению «узких» мест, обеспечивающее наибольшее изменение целевой функции. Это из­менение определяется величиной u_i и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величин b_i, значения переменных u_i соответствующих двойственной задаче, в оптимальном плане оста­ются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ли­нейных ограничений, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Предельные оценки нижнего и верхнего прироста запасов i-го ресурса можно определить по следующим формулам:

(8.72)

(8.73)

где х_к — значение А-й базисной переменной из оптимального решения; d_ki- элементы обратной матрицы коэффициентов при базисных пере­менных.

Элементы обратной матрицы d_ki находятся в итоговой симп­лекс-таблице (табл. 8.5). Определим по формулам (8.72)—(8.73) воз­можные пределы изменения запасов ресурса 1, при которых двой­ственные оценки не изменяются.

Интервал устойчивости оценок по отношению и изменению ресурса 1 будет равен:

Возможные пределы изменения запасов дефицитного ресурса 3, при которых двойственные оценки не изменяются, определяют­ся следующим образом:

Интервал устойчивости оценок по отношению к изменению ресурса 3 (соотношение спрос на продукцию П₁ и П₂) будет ра­вен:

Недефицитный ресурс (2 и 4) используется в производстве не полностью, поэтому верхняя граница интервала устойчивости оп­ределяется однозначно исходными данными (Ь₂ = 13; Ь₄ = 2) Ниж­нюю границу устойчивости можно определить, используя данные табл. 8.24, учитывая, что ненулевые выравнивающие переменные, вошедшие в базис, характеризуют величину избытка недефицитно­го ресурса. В нашем примере избыток недефицитного ресурса бу­дет равен:

и .

Тогда интервалы устойчивости оценок по отношению к изме­нению ресурсов 2 и 4 вычисляются следующим образом: для ресурса 2:

для ресурса 4:

Так как изменения ресурсов находятся в пределах устойчивос­ти оценок, то их раздельное влияние на величину доходов определяется произведением оценки и_i и величины :

Суммарное возможное увеличение оптимального значения функции составит:

Здесь можно определить также целесообразность дополнительного приобретения дефицитного ресурса, используя четвертое свойство двойственных оценок. Например, определить, выгодно ли приобретать дополнительно ресурс 1 (сырье А) в размере 2 ед. по цене c₁ = 0,5 д. е. за 1 ед. ресурса.

Приращение ресурса 1 на величину = 2 ед. находится в пре­делах устойчивости двойственных оценок. Следовательно, ед., в то время как затраты на приобрете­ние 2 ед. ресурса 1 вида составляют:

д.е.

Поскольку величина дополнительных доходов () больше дополнительных затрат, закупать ресурс 1 в размере 2 ед. по цене с₁ = 0,5 д. е. целесообразно.

Необходимо подчеркнуть, что изменение правых частей огра­ничений может повлиять только на элементы правой части симп­лекс-таблицы и, следовательно, на допустимость самого решения. Поэтому нужно при всяком изменении в исходных условиях проводить расчеты новых значений элементов правой части симп­лекс-таблицы.

Внедрение нового технологического способа производства

Новый технологический способ производства предполагает либо выпуск нового вида продукции, либо изменение технологичес­ких коэффициентов, стоящих в левой части ограничений. Для оп­ределения эффективности внедряемого нового технологического способа с успехом могут быть использованы двойственные оценки.

Согласно третьему свойству двойственных оценок в оптималь­ный план включается новая продукция j-го вида, для которой вы­полняется условие

(8.74)

Оценим целесообразность введения в оптимальный план зада­чи (8.65 — 8.67) продукции третьего вида (x₃), Для которой техноло­гические коэффициенты а₁₃ ⁼3 ед., a₂₃ =1 ед., а доход — с₃ = 8 д. е.:

Так как доходы превышают затраты, то введение в план треть­его вида продукции выгодно.