logo
Бурлов_матем2

8.4. Анализ моделей на чувствительность

Анализ моделей на чувствительность - это процесс, реализуе­мый после получения оптимального решения. В рамках такого ана­лиза выявляется чувствительность оптимального решения к опре­деленным изменениям исходной модели. В задаче об ассортименте продукции (пример 8.2) может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запасов исходного сырья. Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную ди­намичность, позволяющую исследователю проанализировать влия­ние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фак­тически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов, позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптималь­ное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еше до своей реализации. Для проведения анали­за модели на чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы.

Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность на примере 8.10.

Задача I. Анализ изменений запасов ресурсов.

После нахождения оптимального решения представляется впол­не логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Для этого необходимо ответить на два вопроса:

Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязываюшие (неактивные) ограничения. Прямая, представляю­щая связывающее ограничение, должна проходить через оптималь­ную точку, в противном случае, соответствующее ограничение будет несвязывающим. На рис. 8.5 связывающими ограничениями являются ограничения (I) и (3), представленные прямыми L1 и L3 соответственно, т. е. те, которые определяют запасы исходных ре­сурсов. Ограничение (1) определяет запасы сырья А. Ограничение (3) определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.

Если некоторое ограничение является связывающим, то соот­ветствующий ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефи­цитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются (2) и (4) Сле­довательно, ресурс - сырье В - недефицитный, т. е. имеется в из­бытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью (в таблице — ресурсы 2 и 4).

При анализе модели на чувствительность к правым частям ог­раничений определяются: 1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оп­тимальное решение, и 2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее опти­мальное значение целевой функции.

В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускае­мую продукцию П1 и П2 являются дефицитными ресурсами (в таб­лице - ресурсы 1,3).

Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 8.8 при увеличе­нии запаса этого ресурса прямая L1 перемещается вверх, парал­лельно самой себе, до точки К, в которой пересекаются линии ог­раничений L2, L3 и L4 В точке К ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответст­вует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник АКДО. В точке К ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений ни на оптимальное решение.

Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (I) становится избыточным, т. е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые L2, L3 и L4, т.е. находится решение системы уравнений

В результате получается x1 = 3 и х2 = 2. Затем, путем подста­новки координат точки К в левую часть ограничения (I), определя­ется максимально допустимый запас ресурса А:

Рис. 8.8 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении соотношения спроса на продукцию П1 и П2.

Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые L1 и L2. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений (1) и (2) следующим образом;

В результате получается х1 = 4,2; х1 = 0,2, причем суточный спрос на продукцию П1 не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину х1 – х2=4,2-0,2=4 ед.

Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П1 и П2 не будет влиять на оптимальное решение.

Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений. Ограничение (4) х2 2 фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П2. Из рис. 8.5 следует, что, не из­меняя оптимального решения, прямую L4(АВ) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С. Так как точка С име­ет координаты x1 = 2,4; х2 = 1,4, уменьшение спроса на продукцию П2 до величины х2 = 1,4 никак не повлияет на оптимальность ра­нее полученного решения.

Рассмотрим ограничение (2) 3x1 + 2х2 13, которое представля­ет собой ограничение на недефицитный ресурс — сырье В. И в этом случае правую часть — запасы сырья В - можно уменьшать до тех пор, пока прямая L2 не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения (2) станет равной , что позволяет записать это ограничение в виде: . Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если суточный запас ресурса В уменьшить на 3 ед.

Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу:

Ре­сурс

Тип ресурса

Максимальное изменение запаса ресурса, ед.

Максимальное увеличение дохода от изменения ресурса,у.д.е.

У- Д- е.

1 (А) 2(B)

3

4

Дефицитный Недефицитный

Дефицитный Недефицитный

12 - 9 = +3

10- 13 = -3

4 - 1 = +3

1,4-2 = -0,6

17 - 12,8 = +4,2

12,8- 12,8 = 0

13,4 - 12,8 = +0,6

12,8- 12,8 = 0

Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса.

В задаче 1 анализа на чувствительность мы исследовали влия­ние на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов. При ог­раничениях, связанных с дополнительным привлечением ресур­сов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной еди­ницы дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую ха­рактеристику для рассматриваемого примера можно получить не­посредственно из таблицы, в которой приведены результаты реше­ния задачи I на чувствительность. Обозначим ценность дополни­тельной единицы ресурса i через yi Величина yi определяется из соотношения

Результаты расчета ценности единицы каждого из pecypcoi представлены в следующей таблице:

Ресурс i

Тип ресурса

Значение уi

1(A)

2(B)

3

4

Дефицитный

Недефицитный

Дефицитный

Недефицитный

4,2/3 = 1,4

О/(-3) = 0

0,6/3 = 0,2

0/(-0.6) = 0

Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополни­тельные вложения в первую очередь следует направить на увеличе­ние ресурса А и лишь затем — на формирование соотношения спро­са на продукцию П1, и продукцию П2. Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.

Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции.

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влия­ние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в при­нятой системе координат. Вариация коэффициентов целевой функ­ции может привести к изменению совокупности связывающих ог­раничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса (т. е. сделать недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот).

При анализе модели на чувствительность к изменениям коэффи­циентов целевой функции необходимо исследовать следующие вопросы:

Ответим на поставленные вопросы на нашем примере. ,_

Рассматривая первый вопрос, обозначим через с1 и с2 доходы предприятия от продажи единицы продукции П1 и П2 соответственно. Тогда целевую функцию можно представить в следующем виде:

Z = c1x1+ c2x2.

На рис. 8.5 видно, что при увеличении c1 или уменьшении c2 прямая, представляющая целевую функцию Z, вращается (вокруг; точки С) по часовой стрелке. Если же c1 уменьшается или с2 увеличивается, эта прямая вращается в противоположном направлении — против часовой стрелки. Таким образом, точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых для ограничений (1) и (3).

Когда наклон прямой Z станет равным наклону прямой L1 по­лучим две альтернативные оптимальные угловые точки — С и В. Аналогично, если наклон прямой Z станет равным наклону прямой для ограничения (3), будем иметь альтернативные оптимальные уг­ловые точки Си/). Наличие альтернативных оптимумов свидетель­ствует о том, что одно и то же оптимальное значение Z может до­стигаться при различных значениях переменных x1 и х2. Как толь­ко наклон прямой выйдет за пределы указанного выше интервала c1, получим некоторое новое оптимальное решение.

Рассмотрим на нашем примере, каким образом можно найти допустимый интервал изменения c1, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента с2 = 4 оставим не­изменным. На рис. 7.5 видно, что значение c1 можно уменьшать до тех пор, пока прямая Z нe совпадет с прямой L1 (отрезок ВС).

Это крайнее минимальное значение коэффициента c1 можно определить из равенства углов наклонов прямой Z и прямой L1. Так как тангенс угла наклона для прямой Z равен , а для прямой (I) равен , то минимальное значение с1 определим из равенства , откуда .На рис 7.5 видно, что значение c1 мож­но увеличивать беспредельно, так как прямая Z при с2 = 4 и не совпадает с прямой L3 (отрезок DC) и, следовательно, точка С при всех значениях коэффициента будет единствен­ной оптимальной.

Интервал изменения с1, в котором точка С по-прежнему оста­ется единственной оптимальной точкой, определяется неравенством . При оптимальными угловыми точками будут как точка С, так и точка В. Как только коэффициент с1 становится меньше , оптимум смешается в точку В.

Можно заметить, что, как только коэффициент c1 оказывается меньше , ресурс 3 становится недефицитным, а ресурс 4 – дефицитным. Для предприятия это означает следующее: если доход от продажи единицы продукции П1 станет меньше д.е.,то наиболее выгодная производственная программа предприятия должна предусматривать выпуск максимально допустимого количества продукции П2 (полностью удовлетворять спрос на продукцию П2).

При этом соотношение спроса на продукцию П1 и П2 не будет лимитировать объемы производства, что обусловит недефицитность ресурса (3). Увеличение коэффициента c1 свыше д.е. не снимает проблему дефицита ресурсов (1) и (3). Точка С – точка пересечения прямых L1 и L3 – остается все время оптимальной.