12.3 Разработка алгоритма реализации модели поставки ресурсов на рынок труда в условиях воздействия разнородных факторов

Рассмотрим ситуацию, когда при поставке человеческих ресурсов на рынок труда, сформированный таким образом поток безработных с интенсивностью λ, обслуживается с помощью двух разнородных компонентов (факторов воздействия), время обслуживания которых подчиняется показательным законам с параметрами νи ν.

Обозначим вероятности состояний рассматриваемой системы при обслуживании потока человеческих ресурсов на рынок труда:

Р- все компоненты (факторы) воздействия не проявляют себя;

Р - первый компонент (фактор) проявляют себя, а другой свободен от облуживания.

Р - первый компонент (фактор) свободен от обслуживания поставок, а второй занят облуживанием поставок;

Р- оба компонента обслуживают поставки человеческих ресурсов на рынок труда.

Поступающие в регион поставки сначала обслуживаются первым компонентом (фактором). Если он ведёт обслуживание, то всякая новая поставка (т.е. новый нетрудоспособный) следует в область воздействия второго компонента (фактора). Если поставка обслужена первым компонентом и не остановлена, то второй фактор уже не обслуживает такую поставку. Поставка обслуживается вторым компонентом. Если он занят обслуживанием предыдущей поставки, то новая поставка проходит зону воздействия факторов необслуженной.

Обозначим состояния системы А, А, А, А. Составим дифференциальные уравнения этих состояний ЗПС.

Состояние А возможно в следующих несовместных случаях:

- в момент времени t система была в состоянии А. За интервал времени Δt в области воздействия факторов не проявилась ни одна поставка. Вероятность этого события равна

Р(t) (1 - λ Δt); (12.16)

- в момент времени t система находилась в состоянии А. За время Δt в области воздействия факторов поставка была обслужена первым компонентом (фактором). Вероятность этого события равна

Р(t) νΔt; (12.17)

- в момент времени t система находилась в состоянии А. За время Δt закончил обслуживание поставки второй компонент (фактор). Вероятность этого события равна

Р(t) Δt) νΔt. (12.18)

Тогда соотношение для состояния А запишется в следующем виде

Р(t+Δt)=Р(t)(1-λΔt)+ Р(t) νΔt + Р(t) Δt) νΔt (12.19)

После соответствующих преобразований и перехода к пределу при Δt→ 0, получим

Р(t) = - Р(t) λ + Р(t) ν+ Р(t)ν. (12.20)

Рассмотрим состояние система А. Оно возможно в следующих несовместных случаях:

- система в момент времени t находится в состоянии А. За интервал времени Δt в области воздействия факторов не проявилась ни одна новая поставка и не было завершёно обслуживание поставок вторым компонентом (фактором). Вероятность этого события равна

Р(t) (1 - λ Δt)(1- νΔt); (12.21)

- в момент времени t оба компонента были заняты обслуживанием поставок. За время Δt в области воздействия факторов было прекращено обслуживание поставок первым компонентом (фактором). Вероятность этого события равна

Р(t) νΔt. (12.22)

Тогда соотношение для состояния А запишется в следующем виде

Р(t) = - Р(t)(λ+ ν) + Р(t) ν. (12.23)

При составлении дифференциального уравнения для состояния системы А необходимо исходить из того, что оно возможно в следующих несовместных случаях:

- в момент времени t система была в состоянии А. За интервал времени Δt в области воздействия факторов не проявилась ни одна поставка и не закончил обслуживания поставки первый компонент (фактор). Вероятность этого события равна

Р(t) (1 - λ Δt)(1- νΔt); (12.24)

- в момент времени t в области воздействия факторов не было ни одной поставки. За время Δt в области воздействия факторов появилась поставка и она была обслужена первым компонентом (фактором). Вероятность этого события равна

Р(t) λ Δt; (12.25)

- в момент времени t оба компонента (фактора) обслуживают поставки. За время Δt закончил обслуживание поставки второй воздействия факторов. Вероятность этого события равна

Р(t) νΔt. (12.26)

Тогда соотношение для состояния Азапишется в следующем виде

Р(t) = Р(t) λ - Р(t)( λ + ν) + Р(t)ν. (12.27)

Наконец, последнее состояние системы возможно в следующих несовместных случаях:

- в момент времени t система была в состоянии Аили А . За интервал времени Δt в области воздействия факторов проявились новые поставки. Вероятность этого события равна

( Р(t) + Р(t) )λ Δt; (12.28)

- в момент времени t оба компонента системы обслуживали поставки человеческих ресурсов на рынок труда. За время Δt ни один из компонентов воздействия факторов не освободился от обслуживания поставок. Вероятность этого события равна

Р(t)(1- νΔt) (1- νΔt); (12.29)

Тогда соотношение для состояния Азапишется в следующем виде

Р(t) = ( Р(t) + Р(t) )λ ν) + Р(t)( ν+ ν). (12.30)

Общая система уравнений, описывающая всевозможные состояния рассматриваемой системы, представляется в следующем виде из четырёх ДУ:

Р(t) = - Р(t) λ + Р(t) ν+ Р(t)ν

Р(t) = - Р(t)(λ+ ν) + Р(t) ν

Р(t) = Р(t) λ - Р(t)( λ + ν) + Р(t)ν

Р(t) = ( Р(t) + Р(t) )λ ν) + Р(t)( ν+ ν)

Не нарушая общности рассуждений предположим, что переходные процессы в системе отсутствуют. Это позволяет сделать следующую запись свойств для вероятностей перехода:

Δt → ∞, Р( t) →0, Р( t) =Р= const.

В силу этого система ДУ преобразуется в систему алгебраических уравнений следующего вида

Р(t) λ= Р(t) ν+ Р(t)ν

Р(t)(λ+ ν) = Р(t) ν

Р(t)( λ + ν) = Р(t) λ + Р(t)ν

Р(t)( ν+ ν) = ( Р(t) + Р(t) )λ

При решении этой системы алгебраических уравнений можно определить:

- вероятность того, что поставки человеческих ресурсов на рынок труда будут осуществлены в условиях одновременного воздействия двух факторов

Р=

- вероятность того что компоненты (факторы) воздействия не будут задействованы для обслуживания поставок человеческих ресурсов

Р= Р.