П.3 Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.

Опр. 5.3.1Произведением двух событийА и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называется событие наступления всех этих событий.

Например, двукратное попадание в цель есть произведение двух событий.

При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.

Опр. 5.3.2Событие А называетсянезависимым отсобытия В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называетсязависимымот события В. Два события А и В называютсянезависимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого,зависимыми – в противном случае.

Теорема 5.3.1. (умножения вероятностей)Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)(5).

Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.

Опр. 5.3.3Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называетсяусловной вероятностьюсобытия А при условии появления В и обозначается Р_В(А).

Теорема 5.3.2. Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А) (6).

Пример 5.3.1.Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?

Решение:Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда АВ – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):

.

Заметим, что полученная в решении вероятность 0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!

Теорема 5.3.3. (расширенная теорема сложения) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения):

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (7).

Пример 5.3.2.В электрическую цепь последовательно включены 2 предохранителя. Вероятность выхода первого из строя равна 0,6; второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из предохранителей.

Решение:Событие А – выход из строя первого предохранителя, В – второго, А+В – выход из строя хотя бы одного из них. События А и В совместны и независимы, поэтому по теореме 3 получим:

