П.3. Перевод чисел из одной с.С. В другую

Общее правило для перевода целых чисел. Для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления в другую, его надо последовательно разделить на основание q той системы, в которую оно переводится. Деление производится до тех пор, пока не получим частное, меньшее чем q. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Последнее частное дает старшую цифру числа. Перевод производится в той системе счисления из которой переводим.

Примеры:

1. Н

   2. 177₁₀N₈.

   177| 8__

   176 22 | 8__

   1 16 2  Старшая цифра

   6 результата

   177₁₀=261₈.

   айти двоичную запись числа 30 (30₁₀N₂).

30|2­­___

30 15 |2___

0 14 7 |2___

1 6 3 |2___

12 1  Старшая циф-

1 ра результата

30=1110₂

3) 28₁₀N₁₆.

28 | 16_

16 1

12

Поскольку десятичное число 12 в 16-ричной системе счисления обозначается цифрой (буквой) С, получим: 28₁₀=1С₁₆.

Общее правило для перевода правильных дробей. Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую, ее надо последовательно умножить на основание q той системы, в которую оно переводится. Перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе запишется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

Примеры.

1. 0

   3. 0,29N₂.

   0,29

   2

   0,58

   2

   1,16

   2

   0,32

   2

   0,64

   

   0,29₁₀=0,0100... ₂.

   4. 0,17N₁₆

   0,17

   16

   2,72

   16

   11,52

   16

   8,32

   16

   5,12

   

   0,17₁₀=0,2B85... ₁₆.

   ,3125₁₀N₂. 2)0,43₁₀N₈.

0,43

8

3,44

8

3,52

8

4,16

8

1,28



0,43₁₀=0,3341... ₈.

2

0,6250

2

1,2500

2

0,5000

2

1,0000

0,3125₁₀=0,0101₂.

Этот процесс необязательно будет конечным, как для целых чисел. Он может продолжаться для любого числа значащих цифр. Если получаемая дробь бесконечная, она может быть периодической (иметь повторяющиеся группы цифр - период) или непериодической. Например, десятичная дробь 0,15 выражается периодической дробью вида:

0,15=0,00100110011001...₂=0,00(1001) ₂.

В скобках указан период двоичной дроби.

Общее правило для перевода неправильных дробей. При переводе неправильных дробей отдельно переводят целую и дробную части по своим правилам.

0,41

8

3,28

8

2,24

8

1,92

8

7,68



37 | 8__

32 4

5

37=45₈.

0,41=0,3217...₈.

37,41₁₀=45,3217... ₈.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную можно осуществить, используя свойство позиционной системы счисления (представление любого числа в виде многочлена по степеням основания) и выполняя действия над числами, представленными в привычной для нас десятичной системе. Примеры:

1. Дано двоичное число 101101₂. Получить его десятичную запись (101101₂N₁₀).

101101₂=12⁵+02⁴+12³+12²+02¹+12⁰=32+0+8+4+0+1=45.

101101₂=45₁₀.

2. 1DA9₁₆N₁₀.

1DA9₁₆=116³+1316²+1016¹+916⁰=4096+3328+160+9=7593

1DA9₁₆=7593₁₀.

Если основание p-ичной системы счисления является степенью основания q-ичной системы, т.е. p=q^k (k - целое число), то перевод числа из p-ичной системы счисления в q-ичную систему счисления и, наоборот можно выполнить по более простым правилам: переводу каждой цифры в отдельности.

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно. Т.к. 8=2³, то для перевода в 8-ричного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичным представлением (двоичной триадой).

0

Примеры:

1) 35₈=011 101₂

2) 741,5₈=111 100 001, 101₂

1 - 001₂ 5 - 101₂

2 - 010₂ 6 - 110₂

3 - 011₂ 7 - 111₂

Для обратного перевода (из 2-ичной системы счисления в 8-ричную систему счисления) следует двоичное число разбить на триады влево и вправо от запятой, и каждую триаду заменить соответствующей ей 8-ричной цифрой. Если при разбиении самая левая или самая правая тройки оказываются неполными - их дополняют путем приписывания нулей. Примеры:

1. 101110₂=101 100₂=56₈.

2. 11101110,0001111₂=011 101 110, 000 111 100₂=356,074₈

Перевод чисел из шестнадцатиричной системы счисления в двоичную и обратно. Т.к. 16=2⁴, то для перевода 16-ричного числа в 2-ичную с.с. достаточно каждую 16-ричную цифру заменить соответствующей ей двоичной тетрадой. Приведем эти тетрады:

0

Примеры:

1) 27E₁₆=0010 0111 1110₂=001001111110₂.

2) 4D,0F₁₆=01001101,00001111₂.

1 - 0001 9 - 1001

2 - 0010 A - 1010

3 - 0011 B - 1011

4 - 0100 C - 1100

5 - 0101 D - 1101

6 - 0110 E - 1110

7 - 0111 F - 1111

Для обратного перевода (из 2-ичной системы счисления. в 16-ричную систему счисления) следует двоичное число разбить на тетрады влево и вправо от запятой, и каждую тетраду заменить соответствующей ей 16-ричной цифрой. Если при разбиении самая левая или самая правая четверки оказываются неполными - их дополняют путем приписывания нулей. Примеры:

1. 101110₂ = 0010 1110₂ = 2E₁₆. 2) 10111,101₂ = 00010111,1010₂ = 17,A_16.