П.2 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.

Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.

Опр. 5.2.1Суммой (А+В)двух событий, называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Пример 5.2.1Если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В – попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А+В.

Понятие суммы событий можно проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна. Пусть событию А соответствует взятие наугад точки плоскости из области А, а событию В – взятие точки из области В, то сумме событий соответствует попадание точки в область АВ (рис. 21). Причем а) соответствует случаю несовместных событий, а б) – для совместных событий.

Теорема 5.2.1. (сложения вероятностей)Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (3).

Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.

Опр. 5.2.2Событие А называетсяпротивоположнымсобытию А, если оно состоит в том, что событие А не происходит.

Противоположные события всегда несовместны. Легко видеть, что Р(А+А)=Р(А)+Р(А)=1(4).

Пример 5.2.2.В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 – денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.

Решение:Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В – денежный. Тогда А+В – купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему 1 для вычисления искомой вероятности:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=

Теорема сложения для совместных событий будет рассмотрена ниже.