П.1 Соединения без повторений

Пусть дано множество М, состоящее из nэлементов.

Опр. 4.1.1Перестановки– всевозможные упорядоченные множества, составленные из всех элементов данного множества. Число всевозможных перестановок изnэлементов обозначают Р_nи находят по формуле

Р_n= n! (1),

где n!= 123n, 0!=1 по определению.

Пример 4.1.1.Сколько перестановок можно составить из трех букв а, в, с?

Решение:Р₃=123=6. Действительно: авс, вас, асв, сав, вса, сва.

Пример 4.1.2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «треугольник»?

Решение:Т.к. все буквы в данном слове разные, т.е. нет повторений, то можно воспользоваться формулой (1): Р₁₁=11!=39916800.

Опр. 4.1.2Размещениями из n по m называются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащиеmэлементов из данныхn. Обозначаются и вычисляются по формуле:

(2).

Пример 4.1.3.Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.

Решение:Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений: А₅⁴=5432=120.

Пример 4.1.4.В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?

Решение:

Опр. 4.1.3Сочетаниями из n по m называются всевозможные подмножества данныхn элементов, состоящие изm элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:

(3).

Пример 4.1.5.Сколькими способами можно из 7 различных открыток выбрать три?

Решение:Совокупность трех открыток является неупорядоченным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочетаниями: