§1. Математические предложения и доказательства.

Рассматриваемые в математике истины формулируются в виде предложений. Главнейшие из них следующие: определения, теоремы и аксиомы. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиоси означает утверждение, не вызывающее сомнений.

Опр.1.1 Определением называется предложение, в котором разъясняется смысл нового понятия. Теорема есть предложение, справедливость которого устанавливается путем некоторого рассуждения, называемого доказательством. Аксиомой называется истина, принимаемая без доказательства. Непосредственный вывод из аксиомы или теоремы называется следствием.

Пример 1.1. Следующие предложения являются определениями, принятыми в математике: 1) всякое целое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым; 2) радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей ему дуги окружности, для которой данный угол является центральным, к длине ее радиуса. Аксиомой является предложение: через любые две точки можно провести прямую и только одну. Примером теоремы может служить теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, теорема о трех перпендикулярах.

В каждой теореме есть условие и заключение. Содержание условия предполагается данным, а утверждение заключения подлежит доказательству.

Пример 1.2. Теорема, выражающая признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Приведенная теорема выражена в так называемой условной форме. Часто теорема выражается в категорической форме. Например: Вертикальные углы равны.

Доказательство теоремы состоит в том, что путем построения ряда умозаключений переходят от условия теоремы к ее заключению. При этом опираются на ранее доказанные теоремы, на сформулированные ранее определения и аксиомы. Таким образом, в основе лежит небольшое число аксиом. Аксиомы возникли из опыта, и справедливость их в совокупности, равно как и теорем, доказанных с их помощью, проверяется многократными наблюдениями и длительным опытом.

Рассмотрим известное определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны».

Исходя из этого определения, можно выделить несколько свойств параллелограмма:

1. параллелограмм имеет четыре угла;

2. параллелограмм имеет четыре вершины;

3. параллелограмм имеет две пары параллельных друг другу сторон.

Но первые два свойства присущи и другим видам четырехугольников. Третье же свойство характеризует именно эту фигуру, выделяет ее из множества всех четырехугольников, полностью определяет параллелограмм и позволяет его построить.

Такое свойство математического объекта называется его характеристическим свойством. Любое характеристическое свойство математического объекта может быть принято в качестве его определения. Всякое математическое определение не является высказыванием (относительно определения нельзя сказать, истинно оно или ложно; оно лишь разумно выбрано из нескольких возможных определений). Определения не доказываются.

Пример 1.3. Известно, что корнем степени n из числа а называется число х, n-я степень которого равна а: . Обозначается символом. Тогда равенство ()ⁿ = а непосредственно следует из определения и не нуждается в доказательстве.

Основным методом построения современной математики является аксиоматический метод. При составлении какой-либо теории возникает необходимость в уточнении понятий, установлении связей между ними, в сведении сложных понятий к более простым. Например, при определении понятия диаметра окружности: “Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр этой окружности”. Но чтобы это определение стало до конца ясным, надо объяснить термины “окружность”, “хорда”, “центр окружности”. Например, “Окружность – это множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от точки О, называемой центром окружности”. Теперь необходимо объяснить слова “точка”, “плоскость”, “расстояние”, “множество”. Если мы станем объяснять каждое встречающееся слово, то этот процесс никогда не кончится. Поэтому при построении математических теорий надо принять некоторые понятия за неопределяемые, основные понятия (первичные термины), и уже с их помощью составлять всю теорию. Так в настоящее время за неопределяемые понятия в математике принято считать понятия “точка”, “прямая”, “расстояние”, “множество”, “число” и т.д.

Аксиоматическое построение того или иного конкретного раздела математики осуществляется следующим образом:

1. отбираются так называемые первичные термины – конечное число понятий и соотношений между этими понятиями, которые в рамках данной теории не определяются;

2. выделяются некоторые первичные утверждения – аксиомы, устанавливающие связь между первичными понятиями и соотношениями (и косвенно определяющие их), принимаемые за истинные без доказательства;

3. все новые понятия, вводимые в данной теории, должны быть определены через первичные термины или через ранее определенные понятия и соотношения; все новые утверждения теории (термины) должны быть доказаны на основе первичных терминов или аксиом (или предшествующих теорем) путем дедукции. Дедукция – способ рассуждения, посредством которых из общих посылок с необходимостью следует заключение частного характера.

Аксиоматический метод дает возможность строгого обоснования математических теорий; устанавливает глубокие взаимосвязи между математическими объектами, которые он характеризует.

Рассмотрим аксиоматическую теорию построения натурального ряда. Основными неопределяемыми понятиями будем считать: натуральное число, единица, унарная (одноместная) операция «следует за». Натуральные числа будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c… Единицу будем обозначать 1. Число, «следующее за»а будем обозначатьа’. Все множество натуральных чисел строится на системе четырех аксиом:

А1. Существует натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

А2. Любое натуральное число следует не более, чем за одним натуральным числом.

А3. Для всякого натурального числа асуществует только одно следующее за ним натуральное числоа’.

А4. (Аксиома индукции) Если М – подмножество натуральных чисел, содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, содержащемся в М, содержит и следующее за ним натуральное число, то М совпадает с множеством Nвсех натуральных чисел.

А1-А4 – аксиомы Пеано.

Для записи натуральных чисел пользуются символами:

1=1, 1’ = 2, 2’=3, 3’=4 и т.д.

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции (ММИ), который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. предложение А(n) истинно дляn=1;

2. из предположения, что А(n) истинно для=k(гдеk – любоенатуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значенияn=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральныхn, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым длякаждогонатурального значенияk, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значенийn.

Пример 1.4. Доказать истинность предложения

А(n){число 52^{3n – 2}+ 3^{3n – 1}кратно 19}, nN.

Решение: 1) Высказывание А(1){число 52 + 3²кратно 19} истинно.

2. Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k) {число 52^{3k – 2} + 3^{3k – 1} кратно 19}истинно. Тогда, так как

52^{3 (k+1) – 2} + 3^{3 (k+1) – 1} = 852^{3k – 2} + 273^{3k – 1}= 8 (52^{3k – 2} + 3^{3k – 1}) + 193^{3k – 1} , очевидно, что и А(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что А(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение А(n) истинно при всех значенияхn.

Рассмотрим некоторое обобщение принципа математической индукции.

Пусть p– некоторое целое число.

Предложение А(n), где n – целое, истинно для всех целых значений n p, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n=p.

2. Из предположения, что А(n) истинно для n = k ( k – целое, k p), следует, что оно истинно для следующего значенияn=k+ 1.

При p= 1 получается первоначальная формулировка.

Пример 1.5. Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.

Решение: Пусть сумма равнаn копейкам. Еслиn=8, что утверждение верно. Пусть утверждение верно дляn=k. Могут представиться только два случая для размена суммы вkкопеек:

а) потребовались только трехкопеечные монеты,

б) потребовалась хотя бы одна пятикопеечная монета.

В случае а) удаляем три трехкопеечные монеты, добавляем две пятикопеечные и тем самым размениваем сумму в k+ 1 копеек. В случае б) удаляем одну пятикопеечную монету, добавляем две трехкопеечные монеты и тем самым размениваем сумму вk+ 1 копеек. Ч.т.д.

Примеры

1. Доказать формулу ,nN.

Решение: 1) Приn=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

2. Предположим, что формула верна при n=k, т.е.

Прибавим к обеим частям этого равенства (k+1)³и преобразуем правую часть. Тогда получим

Таким образом, из того, что формула верна приn=k, следует, что она верна и приn=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значенииk. Итак, второе условие принципа математической индукции выполнено. Формула доказана.

2. Доказать, что при любом натуральном значении переменной при nверно неравенство 2ⁿ⁺²2n+5.

Решение: 1) приn=1 получаем верное числовое неравенство

2¹⁺²21+5, 87 (истинно).

2. Предположим, что при n=k верно следующее: 2^k+22k+5.

При n=k+1 получим: 2^k+32(k+1)+5

22^k+22k+7.

Но из предположения следует, что 22^k+24k+10, тогда имеем 22^k+24k+102k+7. Следовательно, второе условие принципа математической индукции выполнено и неравенство справедливо при любом натуральном значенииn. Ч.т.д.

Задачи для самостоятельной работы

1. Доказать ММИ следующие утверждения:

а) 1+2 +2² + 2³ + … +2^{n -1}= 2ⁿ –1;

б) (4 ⁿ+15n–1)9;

в) (10 ⁿ+18n–28)27;

г) (n³+ 11n)6;

д) (7 ⁿ–1)6;

е) n(2n²– 3n+1)6;

ж) n⁵–nкратно 5;

з) n⁷–nкратно 7.

2. При каких натуральных значениях nверны неравенства:

а) 3 ⁿ2ⁿ +7n;b) 2ⁿn²+ 4n+5 ?