3.6. Анализ оптимизации объема производства и продаж товаров, продукции, работ, услуг

При проведении аналитических исследований широко применяются экономико-математические методы анализа. В данный теме нам хотелось бы рассмотреть пример использования методов линейного программирования и теорию игр.

Методы линейного программирования, также как и методы квадратичного, нелинейного, блочного и динамического программирования, относятся к группе методов математического программирования и применяются для решения экстремальных задач.

Задачей линейного программирования является задача по определению экстремума (максимума или минимума) целевой функции при ограничивающих условиях. Для линейного программирования характерно математическое выражение переменных величин, определенный алгоритм расчетов. Решение задач линейного программирования можно найти симплексным методом (графическим) или методом искусственного базиса. Типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в нахождении либо минимальной стоимости перевозок груза, либо минимального времени его доставки со складов производителя к потребителям.

К квадратичному программированию относятся решения аналогичных задач. Однако в этом случае целевая функция выражена в квадратичной форме (в виде матрицы), а не в линейной форме.

Если системы ограничений для решения задач содержат часть переменных, то они образуют блоки. Для решения задач с блочной структурой применяют методы блочного программирования.

Если в задаче целевая функция и (или) ограничения имеют нелинейную зависимость (например, имеется переменная в степени, под знаком логарифма), то используются методы динамического программирования.

Рассмотрим использование метода линейного программирования на простом примере⁵.

Мы имеем следующие исходные данные.

Предприятие изготавливает два вида продукции: А и Б. Для их изготовления необходимы три вида сырья. Нормы расхода сырья и их общее количество, находящееся на складе, представлены в таблице 3.6.

Таблица 3.6.

Надо определить, сколько изделий каждого вида необходимо изготовить предприятию для того, чтобы получить максимальную прибыль. При этом мы предполагаем, что эти изделия пользуются одинаковым спросом.

Сначала составляется математическая модель задачи.

Для этого пример за Х1 количество изделия А, а за Х2 – количество изделия Б.

Тогда будем иметь следующую систему уравнений:

2 4Х1 +8Х2  600

8Х1 +8Х2  240

6Х1 +24Х2  504

Х1  0

Х2  0

Кроме того, у нас есть целевая функция:

F = 60Х1 + 80Х2  max

Решим задачу графическим методом. Для нахождения решения мы должны использовать следующий алгоритм.

1. Преобразуем все неравенства в равенства и построим для них прямые (см. рис. 3.1.), используя следующие данные:

2 4Х1 +8Х2 = 600

8Х1 +8Х2 = 240

6Х1 +24Х2 = 504

Х1 = 0

Х2 = 0

Для этого для каждого из первых трех уравнений берем по две произвольные точки (обычно берутся точки, пересекающиеся с осями), а прямые, характеризующие четвертое и пятое уравнение будут совпадать с осями.

Мы берем следующие точки:

Для первого уравнения (0;75) и (25;0);

Для второго уравнения (0;30) и (30;0);

Для третьего уравнения (0;21) и (84;0);

2. Находим полуплоскости, определяющие ограничения задачи.

Например, подставляем в первое уравнение точку с координатами (0;0). Она удовлетворяет нашим условиям (0 меньше 600). Следовательно, это и есть искомая полуплоскость.

3. Находим многоугольник решений – многоугольник, состоящий из различных комбинаций выпуска изделия А и Б, удовлетворяющий ограничениям нашей задачи. Если многоугольник построить невозможно, то задача не имеет решений.

В данном примере это многоугольник ОАВСД.

4. Строим вектор с координатами из целевой функции: С=(60,80).

5. Строим прямую, проходящую через многоугольник решений, с координатами, взятыми из целевой функции:

У = 60Х1 + 80Х2 + Н,

Где Н - некоторая произвольно взятая постоянная величина, взятая с таким расчетом, чтобы прямая имела общие точки с прямоугольником решений (например, возьмем Н=480).

6. Передвигаем эту прямую в направлении вектора С и таким образом находим точки, в которых целевая функция принимает максимальное значение (это может быть одна точка, несколько точек либо даже целая прямая).

7. Определяем координаты точки максимальной функции и вычисляем значение целевой функции в это точке. Это и будет решение нашей задачи.

В нашем примере максимальной точкой является точка В. Ее координаты мы можем получить, решив второе и третье уравнение, поскольку она находится на пересечении второй и третьей прямой. Мы получим координаты (12,18) и значение целевой функции:

F max = 60*12 + 80*18 = 2160

Х 2

75

30

21 А В

С

0

Д21 30 84 Х2

Рис. 3.1. График для решения задачи линейного программирования.

К математическим методам исследования операций относятся: управление запасами; методы технического износа и замены оборудования; теория игр; теория расписаний; сетевые методы; теория массового обслуживания.

Для организации нормального процесса обслуживания покупателей необходимо выбрать оптимальный вариант, при котором время обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишних затрат. В этом случае применяется математическая теория массового обслуживания. Она исследует на основе теории вероятности математические методы количественной оценки процессов.

Теория игр широко применяется, если имеется несколько конфликтующих, т.е. имеющих противоположные интересы, лиц, каждый из которых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором правил (т.е. стратегией). На промышленном предприятии теория игр может использоваться, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов и т.д.

Рассмотрим пример применение теории игр на примере.

Фирма занимается выпуском зонтиков от дождя и солнечных очков. При этом неизвестно, какая погода будет следующим летом: солнечная или дождливая. Необходимо выбрать, что производить и в каком количестве, если существуют следующие условные данные:

Себестоимость изготовления одного зонтика составляет 50 руб., очков – 80. Предприятие продает каждый зонт по оптовой цене 100 руб., очки – по цене 150 руб. В случае дождливого лета оно может продать 10000 зонтов и 3000 очков; в случае солнечного лета – 4000 зонтов и 8000 очков.

Необходимо определить, сколько надо производить продукции и какого вида для получения наиболее оптимальной величины дохода.

В этом случае существует два игрока: предприятие и природа, у которых есть по две стратегии (см. табл. 3.7.).

таблица 3.7.

Как видно из таблицы, максимальный доход будет получен, если лето будет солнечное, и фирма будет ориентироваться на солнечную погоду при выпуске продукции. Однако если фирма будет ориентироваться на солнечную погоду, а лето окажется дождливым, то фирма получит самый маленький доход. Для того, чтобы получать стабильный доход, надо опираться на золотую середину. В этом случае фирма не сможет получить максимальный доход, но и не будет сильно рисковать.

Произведем расчеты. Для этого обозначим вероятность появления стратегии А через Х, а вероятность появления стратегии В - через (1-Х).

Тогда получим следующее выражение:

760000Х +10000(1-Х) =110000Х + 710000(1-Х)

Отсюда Х=0,52, (1-Х)=0,48

Величина среднего дохода составит:

760000*0,52+10000*0,48 =110000*0,52 +710000*0,48=400000,

для чего необходимо изготовить:

(4000 зонтов + 8000 очков)*0,52 + (10000 зонтов + 3000 очков)*0,48 =

5080 зонтов и 5600 очков.

Контрольные вопросы

1. Перечислите показатели, характеризующие объем производства и продажи продукции, товаров, работ, услуг. В каких единицах измеряются эти показатели?

2. С помощью каких показателей можно проанализировать ассортимент выпускаемой продукции?

3. Какие факторы приводят к изменению структуры продукции? Как это проанализировать?

4. В чем состоит аналитическая функция маркетинга?

5. По каким показателям производится анализ рынка?

6. Каким образом можно проанализировать качество продукции?

7. Каким образом определяется влияние на объем продукции использования материальных ресурсов?

8. Какие еще факторы, кроме материальных ресурсов, влияют на объем продукции?

9. Какие экономико-математические методы используются для анализа объема производства и продаж?