3.2. Моделі досліджень

Первинними в пізнанні фізичної сутності процесів є спостереження. Як вже зазначалося, будь – який процес залежить від багатьох діючих на нього факторів. Кожне спостереження, окремий вимір дає можливість зафіксувати лише деякі з них. Для отримання достатньої кількості інформації щодо об’єкту досліджень, особливо складного, треба мати велику кількість вимірів, спостережень. Лише в цьому випадку можна обгрунтовано виділити головні, домінуючі фактори з їх множини. Але зробити це саме на об’єкті дослідження звичайно складно, пов’язано з великими витратами, а в деяких випадках навіть неприпустимо з міркувань технології, техніки безпеки та ін. В якості прикладу, чим може закінчитися подібна необгрунтована постановка експерименту на діючому промисловому об’єкті, можна нагадати аварію на ЧАЕС.

Інструментом досягнення результату в цьому випадку є метод моделювання, який є одним з головних в наукових дослідженнях. Модель – це штучна система, яка відображує з певним ступенем точності основні властивості об’єкту – оригіналу, що вивчається. Оскільки модель знаходиться в певній відповідності з об’єктом, що вивчається, то вона може з певними обмеженнями заміщувати його в дослідженні і слугувати джерелом інформації щодо його властивостей.

Розрізняють предметне і знакове моделювання.

Предметне моделювання – це вивчення властивостей оригіналу на конкретній матеріальній моделі, що відтворює основні геометричні, фізичні, динамічні та функціональні властивості оригіналу. Різновидами його є аналогове та фізичне моделювання.

Аналогове моделювання – це вид предметного моделювання, заснований на використанні аналогії або ізоморфізмі явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними рівняннями. При фізичному моделюванні фізика явищ в об’єкті і моделі, а також математичні залежності, які їх описують, є однаковими.

Прикладами предметного моделювання є випробування зменшених зразків літака, автомобіля у аеродинамічній трубі; дослідження процесів у електричному коливальному контурі на маятнику, що рухається у в’язкому середовищі; використання акваріуму або штучного басейну для вивчення закономірностей розвитку популяцій живих організмів, взаємин між ними впливу на них різних чинників; вивчення законів розвитку популяцій вищих організмів на основі аналізу процесів розмноження колоній мікроорганізмів і т.д.

Взагалі вважається, що предметне, зокрема, фізичне моделювання має сенс, якщо воно дає можливість отримати надійний результат швидше, ніж від теоретичних розробок, або у випадку, коли надійної математичної моделі не створено. Лише в цих випадках воно є виправданим і ефективним.

Знакове моделювання – це моделювання на знакових утвореннях: схемах, графіках, кресленнях, аналітичних формулах, графах, словах і реченнях природних та штучних мов. Знакова модель – це абстрактний опис того чи іншого конкретного явища, який дозволяє виявити ключові процеси, що визначають поведінку певної системи та її характеристики на різних рівнях організації, і прогнозувати ті чи інші тенденції розвитку явища, залежно від точності моделі. Різновидами знакового моделювання є математичне, стохастичне, графічне та уявне.

Стохастичне моделювання базується на застосуванні апарату теорії ймовірностей та математичної статистики і призначено для аналізу складних явищ випадкового характеру. Графічне моделювання для надання дослідженням наочності базується на використанні схем, графіків, креслень. Уявне моделювання оперує модельними образами і є невід’ємною частиною будь-якого процесу пізнання, особливо на початковій його стадії.

Сукупність рівнянь, які описують певний фізичний процес, називають математичною моделлю, а вивчення її поведінки в тих чи інших умовах шляхом розв’язання цих рівнянь називають математичним моделюванням.

Побудова моделі можлива лише при спрощенні, узагальненні об’єкту дослідження, його властивостей. Побудувати абсолютно точну модель навіть звичайної цеглини неможливо; вона є неповторним, оригінальним комплексом, який має свою геометрію, теплофізичні, електричні, хімічні властивості, структуру і безліч інших параметрів, які будуть відрізняти її від будь – якої самої досконалої моделі. Модель резистора у формі закону Ома відображує його здатність проводити струм, але не відбиває його форми, кольору, механічних характеристик, здатності проводити або накопичувати тепло та ін. Тобто, кожна модель відповідає своєму цільовому призначенню і за принципом багатомодельності можливі різні моделі того ж самого об’єкту і для різних цілей потрібні різні моделі.

Чітких стандартних рекомендацій щодо вибору та побудови моделей на всі випадки не існує, але існують певні вимоги до моделей. По – перше, модель повинна повністю відображати комплекс суттєвих явищ процесу або властивостей об’єкту. Це пов’язано з забезпеченням точності моделювання, високого ступеня відповідності результатів досліджень на реальному об’єкті і на його моделі. Але прагнення підвищити точність за рахунок надмірної деталізації, врахування занадто великої кількості дрібних факторів і другорядних явищ не завжди є прийнятним. Така модель може стати надто складною, громіздкою, малопридатною для використання. Втрачається спрямованість досліджень до досягнення цілі, знижується ефективність моделювання без суттєвого підвищення точності, а іноді вона навіть знижується. Тому модель повинна відповідати і іншим вимогам, зокрема: модель повинна бути оптимальною за своєю складністю. Тобто, ступінь універсальності моделі повинен відповідати задачам досліджень. І ще однією вимогою є адекватність моделі об’єкту, тобто вона повинна відбивати задані властивості об’єкту з похибкою, не вище заданої.

В якості прикладу розглянемо фізичну модель випадкового процесу, яка наведена на рис. 3.1. Вона характеризує закон імовірного розподілу піску, який витікає неперервним струменем з лійки крізь сито в скриньку з вертикальними секціями. Спостереження показують, що розподіл частинок піску в скриньці підпорядковується закону нормального розподілу:

,

де У – ордината, тобто частота розподілу частинок піску або кількість їх в секції;

Х – абсциса, тобто номер секції скриньки у відліку від середини;

σ – середньоквадратичне відхилення.

Наведена формула є математичною моделлю процесу.

Різні за своєю фізичною сутністю об’єкти можуть мати однаковий математичний опис. Розглянемо електричний двигун, у якого залежність обертового моменту від швидкості (механічна характеристика) має вигляд прямих ліній (рис.3.2).

Вхідною величиною Х₁ будемо вважати напругу U на електродвигун, а вихідною Х₂ – швидкість обертання валу ω. Диференційне рівняння руху має вигляд:

,

де І – зведений до валу двигуна сумарний момент інерції;

Км – коефіцієнт пропорційності між вхідною величиною Х₁ і обертовим моментом М;

М₀/ω₀ – нахил механічної характеристики, який дорівнює співвідношенню пускового моменту і швидкості холостого ходу при деякому фіксованому значенні Х₁.

Зробимо перетворення цього рівняння:

I або ,

де Т і К – стала часу і коефіцієнт передачі.

За нульових початкових умов при ступінчастому підвищенні Х₁ рішення цього рівняння має вигляд експоненти:

; ; ; ,

де С₁ і С₂ – сталі інтегрування.

За наведених початкових умов при τ = 0; Х₂ = 0 маємо:

; ; ; або ,

де Х_2К – кінцеве значення Х₂ при τ → ∞, тобто після закінчення перехідного процесу, пов’язаного зі ступінчастою зміною вхідної величини об’єкту (рис. 3.3).

В реакторі ідеального змішування (рис. 3.4) речовина, яка в нього надходить, миттєво розподіляється по всьому об’єму апарата.

Концентрація речовини в будь – який точці апарату дорівнює концентрації її на виході. Рівняння, яке описує змінe концентрації в апараті і на його виході має вигляд:

,

де Х₁ = С_ВХ і Х₂ = С – концентрація речовини на вході апарату і поточна концентрація її на його виході;

V – об’єм апарату;

v – об^/ємна витрата потоку крізь апарат.

За цим рівнянням швидкість зміни концентрації речовини в апараті і на його виході пропорційна різниці між вхідною і вихідною концентрацією. Позначимо відношення через Т, як сталу часу апарату, тобто середній час перебування частинки потоку речовини в апараті. При ступінчастому зростанні вхідної концентрації маємо:

; ; ; .

За нульових початкових умов при τ = 0; Х₂ = 0 отримуємо:

; ; ; .

Динамічна характеристика цього об’єкту наведена на рис. 3.5.

Знайдемо опис динаміки пасивного електричного ланцюга постійного струму, який складається з елементу активного опору R і конденсатора ємністю С (рис. 3.6).

Рис. 3.5 Перехідний процес в реакторі ідеального змішування

Вхідне напруження U₁ дорівнює сумі падінь напруження на резисторі U_R = iR i ємності U_c = . З іншого боку, напруження на обкладинках конденсатора є вихідним напруженням контуру: U_c = U₂ = , звідки величина струму в контурі:

і = С .

Тоді маємо: U₁ = U_R+U_C = RC +U₂ .

Величина RC має розмірність часу і позначимо її як сталу часу Т. Після перетворень за нульових початкових умов і при ступінчастому зростанні вхідної напруги маємо:

; ; ln(U₁-U₂) = - ;

U₁ - U₂ = e^C = c₂ .

При ; U₁ – 0 = C₂ ; С₂ = U₁; U₂ = U₁(1- ), або позначимо

U₁ = Х₁; U₂ = Х₂ і отримуємо динамічну характеристику даного об’єкту ( рис. 3.7):

Х₂=Х₁(1- )= Х_2k(1- ).

Складемо математичну модель процесу пружно-в’язкого деформування матеріалу, яку можна використовувати для дослідження процесів кування, пресування матеріалів. Фізичну модель такого процесу можна представити паралельним з’єднанням двох моделей ( рис. 3.8).

1

Рис. 3.7 Перехідний процес в пасивному чотириполюснику

Модель 1 характеризує пружні властивості і зображена пружиною. За законом деформування твердих пружних тіл ( за законом Гука) величина відносної деформації S прямо пропорційно прикладеному навантаженню P_n:

S= ,

де Е – модуль пружності матеріалу.

Модель 2 характеризує в’язкі властивості і показана поршнем, який рухається в заповненому в’язкою рідиною циліндрі. За законом Ньютона опір матеріалу Р_В в цьому випадку є пропорційним швидкості деформації:

Р_В=μ ,

де μ – коефіцієнт динамічної в’язкості.

Тоді модель пружно-в’язкої деформації буде мати вигляд закону Кельвіна:

Р= Р_П + Р_В= ЕS + μ .

Вирішуємо це рівняння відносно S при ступінчастій зміні Р за нульових початкових умов (S = 0 при τ = 0).

; ; ; .

При τ = 0 отримуємо:

; ; ; .

Якщо позначити Х₂ = S; Х₁ = Х_2К = ; , то отримуємо залежність вихідної величини Х₂ від вхідної Х₁ в динаміці , яка є аналогічною наведеним вище.

Аналогічним чином можна показати, що такий же математичний опис має процес підвищення тиску Р₂ в резервуарі при зміні тиску на вхідному отворі Р₁; зміна температури в агрегаті при зміні кількості поданого в нього тепла в одиницю часу Q (рис. 3.9). Тобто, зовсім різні за своєю природою об’єкти, процеси мають однаковий математичний опис.

Поширеною є кібернетична модель “чорної скриньки” (рис. 3.10).

Вона описує систему, структура якої невідома і недоступна для спостереження. Відомо лише дія вхідних факторів Х₁, Х₂, …., Х_К і вихідні параметри Y₁, Y₂, …., Y_n в умовах дії на об’єкт неконтрольованих факторів Z₁, Z₂, …., Z_m . Для побудови моделі “ чорної скриньки” виконують ідентифікацію об’єкту за експериментальними даними. Шляхом досить довгого спостереження за поведінкою об’єкту як детермінованого, так і стохастичного, виконання додаткових експериментів зі зміною вхідних параметрів можна досягти такого рівня знань властивостей системи, який дозволяє завбачати зміну вихідних компонент при будь – який комбінації вхідних. Інструментом в розробці моделі є методи статистичної обробки результатів неспланованого і спланованого експерименту.

Звичайно, використання моделі “ чорної скриньки” в дослідженні не дає можливості отримати відомості щодо внутрішньої структури об’єкту, оскільки однакову поведінку можуть мати зовсім різні за своєю структурою об’єкти. Такі об’єкти ще називають ізоморфними відносно моделі “чорної скриньки”. Але такий підхід часто є продуктивним, а іноді і єдино можливим, особливо для надто складних об’єктів або систем. Наприклад, для користування складною технікою – побутовою, обчислювальною і т.д. зовсім не обов’язково мати уяву щодо її внутрішнього устрою, зв’язків різних систем і елементів в ній. Достатньо мати опис органів управління і правила користування ними (вхідних факторів), за допомогою яких можна отримати результат на моніторі, екрані телевізора, з радіоприймача, пральної машини і т.д. Проблеми можуть виникнути у зв’язку з потребою ремонту, який без знання внутрішнього устрою є нереальним.

Моделі – аналоги і моделі – подібності застосовують для експериментального вивчення явища або процесу на моделі з наступним перенесенням знайдених закономірностей на об’єкт – оригінал за допомогою відповідного математичного апарату. Такою простішою моделлю – аналогом може слугувати розглянутий вище електричний RC –ланцюг для вивчення процесу зміни тиску в резервуарі, температури в агрегаті, концентрації речовини в реакторі ідеального змішування або процесу пружно – в’язкої деформації матеріалу. Це приклад динамічної моделі, де відбуваються зміни з часом.

Статичні моделі не враховують зміни в часі. Прикладом може служити електрична модель – аналог для вивчення напружено – деформованого стану балки на двох опорах (рис. 3.11).

Реакції в опорах складають:

; .

Для моделі сила струму: І₁ = І_А+ І_В, а падіння напруги на резисторах є однаковим:

І_АR₁=I_BR₂ або .

Тоді маємо:

; ; .

Tобто, сила струму в гілках ланцюга змінюється аналогічно зміні реакції опор. Шляхом зміни сили струму І₁ , який моделює навантаження на балку, опору резисторів R₁ і R₂ , які моделюють довжину ділянок l₁ i l₂ , можна вивчати реакцію опор балки.

Прикладом застосування моделі – подібності може бути вимір височини споруди. Для виміру височини димової труби або дерева зовсім не обов’язково залізати на них. Досить застосувати простішу модель – трикутник (рис. 3.12) і за теоремою про подібність трикутників визначити її за допомогою формули:

Н = К_Рh.

Для цього попередньо визначають відстань до споруди L, катети контрольного трикутника (височину рейки h і відстань до неї l) і критерій подібності К_Р = . Аналогічний прийом використовують і при дослідженні більш складних об’єктів, процесів, явищ. Відмінністю є лише застосування системи більш складних критеріїв подібності.

Інші типи моделей дозволяють виконати оптимізацію технологічних процесів. Прикладом такої моделі є транспортна задача, яка відноситься до класу задач лінійного програмування. Постановка цієї задачі полягає в наступному.

Деякий однорідний продукт (вугілля, цегла, бензин, металовироби тощо) зберігаються в m сховищах і споживаються в n пунктах (підприємствах, фірмах, споживачів тощо). Відомими є:

• а_і – запас продукту в і – тому сховищі; а_і > 0; і = 1, 2, …., m;

• в_j – потреба в продукті в j – тому пункті; в_j > 0; j = 1, 2, …., n;

• c_ij – вартість транспортування одиниці продукту з і – того сховища в j – тий пункт; с_ij > 0.

При цьому сумарні запаси продукту дорівнюють його сумарним потребам:

.

Треба так організувати транспортування продукту зі сховищ в пункти споживання, щоб при повному задоволенні потреб мінімізувати сумарні транспортні витрати. Математична модель такої задачі має вигляд:

при обмеженнях:

, яке означає, що сумарне постачання продукту з і – того сховища в n пунктів споживання дорівнює його запасам в цьому сховищі;

, яке означає, що сумарне постачання продукту j – тому споживачеві з m сховищ дорівнює потребі цього споживача;

Х_ij ≥ 0, яке означає, що кількість продукту, перевезеного з і - того сховища в j – тий пункт, є позитивним або нульовим; тобто, зворотні потоки продукту від споживачів до сховищ відсутні.

Фізична модель такої задачі, яка зображена на рис. 3.13, має вигляд схеми транспортних потоків.

Широкого застосування знайшли математичні моделі технологічних процесів на основі опису структури потоків речовини. Одну з них, модель ідеального змішування, ми розглядали. Іншими моделями, які враховують динаміку дифузійних і теплових потоків в апараті, є моделі ідеального витиснення, дифузійна, коміркова, циркуляційна та комбіновані. Вони відображують основні фізичні закономірності реального потоку в конкретних умовах; є достатньо простими; дозволяють експериментально або теоретичним шляхом визначити параметри моделі; дають можливість використати їх для розрахунку конкретних процесів.

В основі моделі ідеального витиснення лежить припущення щодо поршневої течії речовини без змішування уздовж потоку при рівномірному розподілі речовини у напрямку, який є перпендикулярним руху.

Час перебування всіх частинок в системі однаковий і дорівнює відношенню об’єму системи (апарата) до об^/ємної витрати потоку або відношенню довжини апарату l до подовжньої швидкості потоку u:

Рівняння моделі має вигляд:

,

де х – координата, уздовж якої переміщується речовина зі швидкістю u.

Початкові умови:

С(0; х) = С_п(х) при τ = 0; 0 < х ≤ l.

Граничні умови:

С(τ; 0) = С_вх(τ) при х = 0; τ > 0.

Рішення наведеного рівняння має вигляд:

С(τ; l) = C_H(l – τu) при τ < і С(τ; l) = С_вх(τ - ) при τ ≥ .

Графік зміни концентрації речовини в апараті ідеального витиснення при ступінчастому збуренні наведений на рис. 3.14.

Тут будь – яка зміна концентрації на вході в апарат С_вх призводить до її зміни на виході його через час, який дорівнює середньому часу перебування речовини в апараті .

Для складання коміркової моделі апарат представляють як сукупність послідовно з’єднаних комірок, через які проходить потік речовини (рис. 3.15).

В кожній комірці здійснюється ідеальне змішування; між комірками зворотне змішування відсутнє. Параметром, який характеризує подовжнє змішування, є число комірок N. Зі збільшенням N структура потоку наближується до моделі повного витиснення , а зі зменшенням – до моделі ідеального змішування.

Запишемо рівняння збереження маси для кожної комірки, причому для спрощення будемо вважати, що всі комірки мають однаковий об’єм V:

; ; ……; ,

або, зважаючи на те, що , отримуємо:

; ; …………; .

Для цієї системи рівнянь початкові умови мають вигляд:

С₁ = С_1п; С₂ = С_2п;……; С_N = С_Nп при τ = 0.

Розглянемо відгук (реакцію) моделі на стандартне збурення у вигляді ступінчастого стрибкоподібного зменшення концентрації речовини на вході в апарат до нуля (процес вимивання).

Для першої комірки, оскільки С_вх = 0, то з рівняння її динаміки маємо:

; ; ; lnC₁ = + K; С₁ = К .

З початкових умов знаходимо сталу інтегрування і рішення рівняння для першої комірки:

С₁ = К = К = С_1п = С_п при τ = 0; С₁ = С_п .

Входом для другої комірки є вихід першої, тому з рівняння збереження речовини маємо:

; .

Отримане неоднорідне диференційне рівняння першого порядку вирішуємо за методом невизначених множників. Відповідне однорідне рівняння має вигляд:

.

Його рішенням є вираз:

С₂ = А(τ) ,

де А(τ) – невизначений множник.

Визначимо похідну і з урахуванням виразу для неї підставимо рішення однорідного рівняння до неоднорідного:

;

= А(τ) + [ ]; .

Підставимо рішення цього диференційного рівняння:

А(τ) =

до рішення однорідного рівняння:

С₂ = А(τ) = ( ) .

З початкових умов (С₂ = С_2п = С_п при τ = 0) знаходимо сталу інтегрування:

С₂ = ( ) = К = С_п.

Таким чином, відгук на виході другої комірки:

С₂ = ) .

Аналогічним чином можна знайти реакцію на стрибкоподібне збурення на виході:

- третьої комірки С₃ = С_п ;

- четвертої комірки С₄ = С_п і т. д.

Індуктивним методом знаходимо рішення для N – ної комірки:

С_N = С_п .

Динаміка зміни концентрації С₁ на виході першої комірки при ступінчастому збуренні зі стрибкоподібним зростанням концентрації до С_вх вже розглядалася для моделі ідеального змішування:

.

Для другої комірки маємо неоднорідне рівняння:

; .

Відповідне однорідне рівняння і його рішення:

; С₂ = А(τ) .

Підставляємо це рішення в неоднорідне вихідне рівняння для отримання невизначеного множника А(τ):

,

де ;

;

.

Тоді з загального рішення:

С₂ = А(τ) =

з урахуванням початкових умов (С₂ = 0 при τ = 0) знаходимо сталу інтегрування і кінцеве рішення:

С₂ = = (С_вх + К)1 = 0; К = - С_вх;

.

Шляхом аналогічних перетворень знаходимо послідовно рішення для інших комірок і функцію відгуку для останньої, N – тої комірки:

.

В основі дифузійної моделі лежить припущення, що структуру потоку описують рівняння, які є аналогічними рівнянням молекулярної дифузії. Параметром моделі є коефіцієнт подовжнього змішування (коефіцієнт зворотного змішування, коефіцієнт турбулентної дифузії).

Для отримання рівняння моделі складемо рівняння матеріального балансу для елемента апарата dx (рис. 3.16).

Позначення на схемі: F – площа перерізу апарата; u – швидкість потоку; τ – час; С – концентрація речовини; D_e – коефіцієнт подовжнього змішування.

У об’єм, що виділений, надходить конвекційний потік uFC і потік, який викликаний турбулентною дифузією D_eF . Цей об’єм втрачає речовину з конвекційним потоком uF і потоком турбулентної дифузії D_eF .

За законом збереження маси різниця між потоками, що надходять та відходять, являє собою накопичення маси речовини в елементі, яке дорівнює Fdx , тобто:

Fdx = uFC + D_eF - uF - D_eF ,

звідки отримуємо основне рівняння дифузійної моделі:

= D_e - u .

В якості початкової умови звичайно завдають профіль концентрацій в апараті в початковий момент часу:

С(0; х) = С_п(х) при τ = 0.

Граничні умови завдають з умов матеріального балансу на кінцях апарату (рис. 3.17).

В апарат з лівого кінця надходить потік з деякою швидкістю u. Сума потоків речовини, які надходять до границі х = 0, повинна дорівнювати потоку речовини, який відходить від неї:

uC_вх + D_e = uC.

Тобто граничні умови для лівого кінця апарата (при х = 0):

u(C_вх – С) + D_e = 0.

Правому кінцю апарата відповідає рівняння:

uC = uC_вих - D_e .

Оскільки на правій границі С = С_вих , то друга гранична умова (при х = l):

.

Представимо основне рівняння дифузійної моделі в безрозмірному вигляді, для чого уведемо в нього безрозмірну координату z = і безрозмірний час θ = :

= D_e - u ; ; .

Множник являє собою безрозмірне число Пєклє, тому основне рівняння має вигляд:

.

Аналогічно отримуємо в безрозмірному вигляді граничні умови:

(C_вх – С) + = 0 при z = 0;

при z = 1.

Функція відгуку дифузійної моделі на ступінчасте збурення для апарату кінцевих розмірів з зазначеними граничними умовами має вигляд безкінечного ряду з повільною збіжністю:

F(θ) = ,

де λ_і – корені трансцендентних рівнянь:

; і = 1, 3, 5,…….

; і = 2, 4, 6,…….

Апарат з комірковою моделлю зі зворотними потоками (рециркуляційною) розглядають як послідовність зон з зосередженими параметрами. Кожна з зон є еквівалентною комірці ідеального змішування, а між комірками існують зворотні потоки (рис. 3.18).

Рівняння збереження речовини для комірок з урахуванням зворотних (рециркуляційних) потоків:

;

;

;

;

;

,

де V – об’єм комірки;

v та l – величина прямого та зворотного потоку речовини.

Початкові умови для цієї системи рівнянь:

С₁ = С_1п; …; С_j = C_jп; …; С_N = C_Nп при τ = 0.

Величину f = називають часткою зворотного потоку; співвідношення - це середній час перебування речовини потоку в комірці.

Тоді математичний опис коміркової моделі зі зворотними потоками буде мати наступний вигляд:

;

;

;

;

;

;

С₁ = С_1п; …; С_j = C_jп; …; С_N = C_Nп при τ = 0.

При f → 0 рециркуляційна модель переходить в коміркову; при f, N → ∞ - в дифузійну.

Безрозмірна функція відгуку моделі на ступінчасте збурення має вигляд:

,

де ;

;

- корені рівняння:

(Кількість цих коренів дорівнює N, а значення лежать в інтервалі 0 < Р_і < π).

D^/(P_i) – значення похідної функції D(P) при Р = Р_і;

.

Доцільність застосування тої або іншої з розглянутих моделей процесів на основі опису структури потоків речовини визначається за конкретних умов дослідження. Модель ідеального витиснення доцільно використовувати для апаратів з відношенням довжини до діаметру більш, ніж 20. Модель ідеального змішування застосовують для циліндричних апаратів в умовах інтенсивного змішування середовища, барботовних апаратів з близькими розмірами діаметру і височини в умовах інтенсивного барботування.

Коміркову модель використовують для каскадів реакторів з мішалками, тарілчастих колон, апаратів з псевдозрідженим шаром, насадкових колон. Рециркуляційна модель використовується для тарілчастих, насадкових апаратів, що розділені на секції, коли спостерігається перетік речовини в бік, протилежний напрямку основного потоку (наприклад, в пульсуючих колонах). Дифузійну модель застосовують для трубчастих апаратів.

В деяких випадках застосовують більш складні комбіновані моделі. Це трапляється у разі неможливості достатньо точного відтворення властивостей об’єкта за допомогою означених моделей. Для їх побудови апарат розбивають на низку окремих зон з різним механізмом і ступінню змішування, які описуються рівняннями для простіших моделей – ідеального змішування, витиснення, коміркової, рециркуляційної, дифузійної. Ці зони можна з’єднувати паралельно або послідовно, розглядати як ізольовані або взаємодіючі з оточуючим простором. Використання комбінованих моделей дозволяє описати потік довільної складності, але ускладнення моделі перешкоджає її використанню на практиці.