3.3.1. Аналітичні методи досліджень

За допомогою аналітичних методів встановлюють математичні залежності між параметрами об’єкту, що вивчається, які потім використовують для аналізу їх впливу на функціонування цього об’єкта. Основу побудови математичних моделей складає ідеалізація реальної системи або об’єкту. Ідеалізація полягає у виділенні визначальних і відкиданні другорядних в умовах даної задачі властивостей явища, процесу, об’єкту і складанні на цій основі рівнянь і нерівностей їх протікання або функціонування.

Важливішим є дотримання певних принципів ідеалізації, зокрема:

1. Ідеалізацію об’єкту або системи, яка відпрацьована для простіших варіантів, не завжди можна екстраполювати на більш складні варіанти. Це стосується навіть випадку чисто механічного ускладнення, наприклад, об^/єднання типових елементів в систему. З підвищенням складності з^/являються додаткові ефекти взаємодії і принцип адитивності може бути порушений. Наприклад, з 10 тисяч болтів, гайок, швелерів, рейок і т.д. можна зібрати різні варіанти моста або іншого виробу, які будуть мати істотно відмінні властивості.

2. Нова ідеалізація явища, процесу, об’єкту потрібна лише у випадку, коли попередня ідеалізація стає неефективною для рішення нових задач. При цьому вона не повинна повністю відкидати попередню, а доповнювати і поглиблювати її, базуватися на ній.

3. Ідеалізація повинна спиратися на твердо встановлені закони природи і співвідношення, які з них випливають.

Елементарні функції використовують у випадках, коли треба спростити модель і отримати наближене рішення задачі. Часто застосовують лінійні, експоненціальні, параболічні, показові функції; для вивчення коливальних процесів – тригонометричні. Неперервність цих функцій дозволяє диференціювати їх і інтегрувати, визначати найкращі або найгірші умови здійснення процесу або функціонування об’єкту шляхом знаходження екстремумів і їх дослідження.

Прикладом може служити параболічна залежність ККД теплового агрегату від його продуктивності у вигляді:

η=а₀+а₁Р-а₂Р² ,

або питомої витрати теплоти від продуктивності:

в ,

де а₀, а₁, а₂, к – деякі коефіцієнти, які визначають за експериментальними даними на агрегаті;

М₀ - потужність холостого ходу агрегату.

Шляхом диференціювання цих виразів легко знайти, що максимум ККД досягається при Р* , а мінімум питомої витрати теплоти – при Р^* .

Звичайні диференційні рівняння використовують для теоретичного аналізу функції тільки однієї змінної. Рівняння першого порядку має вигляд:

; .

Рівняння вищих порядків:

.

Загальне рішення подібних рівень являє собою родину кривих на площині виду:

F(x, y, c₁, c₂, …, c_n),

де с_1, с₂, … ,с_n – постійні інтегрування .

Ці постійні визначають шляхом завдання початкових умов, тобто, значень функції F в деяких відомих точках х та у, і таким чином знаходять часткові рішення диференційного рівняння.

Звичайні диференційні рівняння використовують для аналізу простих і середніх за складністю процесів, наприклад:

• нагрівання термічно тонкого тіла:

де в лівій частині вказано зростання ентальпії тіла, а в правій –надходження енергії ззовні через поверхню F за одиницю часу.

• процес ідеального змішування:

;

• реакція крекінгу нафтової сировини:

де х – частка перетвореної сировини;

а – кількість вихідної сировини;

к – константа швидкості реакції;

- швидкість розкладу індивідуальних вуглеводнів;

• процес розчину речовини (цукру, солі, цементу і т.д.):

,

де m – кількість нерозчиненої речовини;

к – коефіцієнт пропорційності.

За останнім рівнянням швидкість розчинення є пропорційною кількості нерозчиненої речовини і з часом процес розчинення згасає. В цьому можна переконатися з рішення диференційного рівняння:

; ln m = - k + c₁; m=c₂е^-k

Сталу інтегрування знаходимо з початкових умов: при τ=0 початкова кількість нерозчиненої речовини m=m₀. Тоді маємо:

m₀= C₂=m₀

і кінцево отримуємо:

m=m₀e^-k

Швидкість згасання процесу розчину залежить від значення коефіцієнту к, якій визначається природою речовини і температурою розчину.

Диференційні рівняння в часткових похідних мають, наприклад, вигляд:

.

Їх використовують, зокрема, для аналізу процесів течії рідини і газу, дифузії, теплових, коливальних процесів і т.д. Загальне рішення цих рівнянь залежить не від довільних постійних, а від довільних функцій, і являє собою функції декількох незалежних змінних. Сутність задачі полягає у встановленні залежності u = f(x, y, τ, …) між функцією u і незалежними x, y, τ, …, яка задовольняє диференційному рівнянню і додатковим умовам задачі. Ці додаткові умови називають умовами однозначності; вони визначаються фізичним смислом задачі і чітко виділяють явище, що вивчається, з цілого класу явищ, який описує дане диференційне рівняння в часткових похідних.

Ознаками умов однозначності є наступні:

- геометрія об’єкту, системи, тобто форма і розміри тіла;

- фізичні властивості об’єкту ( теплопровідність, в’язкість, теплоємність, густина, пружність і т. д. );

- початкові умови, тобто стан об’єкту, системи в початковий момент часу;

- граничні умови, тобто умови взаємодії об’єкту на границях з оточуючим середовищем.

Початкові та граничні умови ще називають крайовими.

Прикладом диференційного рівняння в часткових похідних є рівняння теплопровідності:

,

де а – коефіцієнт температуропроводності.

За цім рівнянням температура тіла t в будь-якій точці при нагріванні або охолодженні є функцією часу τ і координат х₁, х₂, х₃. Для одномірного температурного поля воно буде мати вигляд:

.

Основне рівняння дифузійної моделі має вигляд:

.

Умови однозначності можна задати наступним чином:

• лінійний розмір тіла ;

• коефіцієнт дифузії Dе;

• початкові умови – профіль концентрацій в апараті в початковий момент часу:

с( 0, х )=с_n(х) при τ=0;

• граничні умови – за умов матеріального балансу на кінцях апарату:

U(c_bx-c)+De при х=0; при х= .

Рішення диференційного рівняння за цих умов має вигляд:

,

де ; ; ; λ_і – корені трансцендентних рівнянь:

при і = 1, 2, 3, …;

при і = 2, 4, 6, …

Ефективним засобом рішення задач тепло - та масообміну є використання методів операційного перетворення Фур’є, Лапласа, Беселя, Карсона – Хевісайда. Сутність цих перетворень полягає в перетворенні функції f(τ) змінної τ, яку називають початковою або оригіналом, в функцію f^*(Р) іншої змінної Р, яку називають відображенням. При цьому аналізують не саму функцію – оригінал, а її змінене значення – відображення. Це дозволяє замінювати складні операції диференціювання і інтегрування функції – оригіналу f(τ) більш простими алгебраїчними операціями з відображенням f^*(Р). Після виконання цих операцій виконують зворотній перехід від f^*(P) до f(τ).

Перетворення здійснюються шляхом множення початкової функції на іншу і її інтегрування. Так, перетворення Лапласа має вигляд:

f^*(P)= e^-Pτ f(τ) dτ ,

де Р = С + іω – комплексне число.

Перетворення Фур’є здійснюється за виразом:

f^*(іω)= e^{- іωτ} f(τ) dτ .

Перетворення Карсона – Хевісайда часто застосовують для рішення задач з електротехніки і воно відрізняється від перетворення Лапласа додатковим множенням на оператор Р:

f^*(P)= Р e^-Pτ f(τ) dτ .

Зворотній перехід від відображення до оригіналу для наведених перетворень здійснюється відповідно за формулами:

f(τ)= f^*(P) e^Pτ dP; f(τ)= f^*(іω) e^іωτ dω; f(τ)= dP.

Для інтегральних рівнянь не існує загального методу точного рішення. Застосовують методи послідовних наближень, варіаційного обчислення, функції комплексної змінної та інші. Однак аналітичні методи, як правило, дозволяють знайти рішення лише відносно простих задач. В більш складних випадках використовують наближені числові методи, одним з яких є метод кінцевих різниць або сіток. Сутність цього методу полягає в заміні безкінечно малих диференціалів функції та аргументів в диференційному рівнянні та крайових умовах на малі, але кінцеві їх прирощення. Область пошуку рішення при цьому розбивають на однакові комірки – квадратні, прямокутні, трикутні або інші; задане диференційне рівняння замінюють в вузлах побудованої сітки відповідним кінцево – різницевим рівнянням; на основі граничних умов встановлюють значення рішення в граничних вузлах області пошуку. Зі складеної системи кінцево – різницевих рівнянь визначають величину функції в вузлах сітки, тобто отримують кількісне рішення задачі.

В якості прикладу розглянемо застосування методу для розрахунку одновимірного температурного поля тіла простої форми при симетричному нагріванні випромінюванням. Розрахункова сітка для цього випадку показана на рис. 3.19.

Диференціали замінені на прирощення Δt, Δx, Δτ. Температурне поле розглядається дискретно лише в точках х_і = і *Δх і тільки в моменти часу τ_j = j *Δτ, тобто у вузлах (і, j) розрахункової сітки, яка має крок в просторі Δх і в часі Δτ. Часові ряди температур в сітці мають номери 0, 1, 2, …, j - 1, j, j + 1, …, J - 1, J, причому нульовий номер відповідає початковому температурному полю, а номер J – полю в кінці нагріву. Розрахунок полягає у визначенні температур наступного ряду j + 1 за відомими температурами попереднього ряду j, починаючи з нульового і закінчуючи рядом J. Кінцево – різницева апроксимація диференційного рівняння теплопровідності здійснюється лише для внутрішніх вузлів сітки (і ≠ 0; i ≠ I), а для вузлів на границях використовують запис граничних умов теплообміну в кінцевих різницях.

Як відомо, одновимірне диференційне рівняння теплопровідності при змінному коефіцієнті теплопровідності λ має вигляд:

сρ .

Для вузла сітки (і, j) його можна апроксимувати наступним чином:

{сρ }_j = { }_j ,

де Δt_j i Δt_i – часткові прирощення температур в часі (і = const) та в просторі (j = const):

Δt_j = t_j+1 - t_j ; Δt_i = t_і+1 - t_і ;

Δ[λ(t)Δt]_i = λ(t_i+0,5)(t_i+1 - t_i) - λ(t_i-0,5)(t_i - t_i-1);

t_i+0,5 = ; t_i-0,5 = .

У вузлах сітки на границі з оточуючим середовищем ( і = І = ) для будь-якої миті маємо:

λ(t_Ι) σ (Т_г⁴ – Т_І⁴) ,

де Δt_I = t_I – t_I-1 .

Це співвідношення відповідає рівнянню Кірхгофа для х = R:

λ .

Для підвищення точності розрахунку звичайно враховують температуру не одного, а двох прилеглих до границі шарів:

Δt_I = t_I – 2t_I-1+ t_I-2 .

Аналогічно для центру тіла з урахуванням симетрії нагріву ( = 0

при х = 0) маємо:

Δt₀ =0,

або:

3t₀ – 4t₁ + t₂ =0; t_{0, j+1} = t_{1, j+1} - t_{2, j+1} .

Запис диференційного рівняння в кінцевих різницях має модифікації. За явною схемою розрахунку температуру ряду (j+1) знаходять безпосередньо з наведених формул. Для внутрішніх вузлів сітки маємо:

t_{i, j+1} = {t_i + [λ(t_i+0,5)(t_i+1 – t_i) – λ(t_i-0,5)(t_i – t_i-1)]}_j .

Значення t_{I, j+1} та t_{0, j+1} знаходять з наведених алгебраїчних рівнянь, які отримані з граничних умов, після попереднього визначення температури внутрішніх вузлів, у тому числі t_{1, j+1} ; t_{2, j+2} ;t_{І-1, j+1} ; t_{І-2, j+1} .

Але при застосуванні явної схеми виникає небезпека накопичення помилок і розрахунок може стати нестійким. Помилка визначається кроком розрахункової сітки в просторі Δх і в часі Δτ, причому зі зменшенням Δх вона знижується, наприклад, за квадратичним законом для лінійних або близьких до них задач. З метою попередження збільшення систематичних помилок в ході розрахунку звичайно при виборі кроку в часі дотримуються співвідношення:

Δτ≤ ,

де - коефіцієнт температуропроводності.

За умови слабкої залежності с, λ, ρ від температури використовують рівність:

Δτ =

при максимально можливому значенні в розрахунку.

Іншою модифікацією є неявна схема, за якою невідома величина t_{і, j+1} визначається через невідомі ж сусідні в ряді j + 1 температури t_{і+1, j+1} та t _{і-1, j+1} :

t_{i, j+1} = {t_{i, j} + [λ(t_i+0,5)(t_i+1 – t_i) – λ(t_i-0,5)(t_i – t_i-1)]}_j+1 .

Ряд температур j + 1 в цьому випадку знаходять з сумісного рішення системи рівнянь для всіх вузлів сітки за останнім виразом і рівнянь, які відображують граничні умови. Перепишемо останній вираз у вигляді:

;

Позначимо:

А_і= ; В_і= ; D_і= ; F_і= .

Тоді отримуємо:

А_і t_{i+1, j+1} – B_i t_{i, j+1} +D_i t_{i-1, j+1} + F_i=0 .

Зважаючи на досить невеликий крок в просторі у порівнянні з розмірами тіла можна прийняти лінійний зв’язок між температурами сусідніх шарів:

t_i=a_it_i+1 + b_i ; t_i-1=a_i-1 +b_i-1 .

Тоді знаходимо в явному вигляді:

А_іt_{i+1, j+1} – B_it_{i, j+1} +D_i (а_і-1t_i +b_і-1)_j+1 + F_i=0; t_{i, j+1}= .

Таким чином, коефіцієнти прогонки можна обчислити за рекурентними формулами:

; .

Початкові значення цих коефіцієнтів знаходять з запису в кінцевих різницях граничних умов для вузла і = 0:

, або: ,

звідки знаходимо:

; .

Потім послідовно проводять розрахунок коефіцієнтів прогонки та b_i до другої границі тіла, отримують крайні значення та b_І-1 і записують рівняння прогонки:

t_І-1 =a_I-1t_I + b_I-1 .

В цьому рівнянні невідомими є t _І-1 та t _І , які пов’язані записом другої граничної умови при і = І, наприклад:

.

З двох останніх рівнянь знаходять величини t_I та t_I-1 , а потім послідовно знаходять температуру вузлів у зворотному порядку, тобто новий розподіл температур. Для цього використовують формулу зворотної прогонки:

t_i-1 =a_i-1t_i + b_i-1 .

Для забезпечення стійкості розрахунку треба дотримуватися нерівностей:

А_і > 0; D_i> 0; В_і ≥ А_і +D_i .

Кількість операцій за неявною схемою на одному кроці Δτ прогонкою в 6 разів більше, ніж їх кількість за явною схемою, але така схема є стійкою незалежно від значення Δτ.

Апроксимація кінцевими різницями тривимірного рівняння теплопровідності для вузла (і₁, і₂, і₃) має вигляд:

,

де Δ²t_n = λ(t_in+0,5)(t_in+1 – t_in) – λ(t_in-0,5)(t_in – t_in-1) .

За явною схемою (ν = 0) у порівнянні з одновимірною задачею кількість операцій на кожному кроці потроюється, в три рази зменшується припустимий за умови стійкості крок в часі Δτ, а кількість вузлів розрахункової сітки зростає мінімум в 27 разів (при Δх_n = const).

За неявною схемою (ν =1) кількість рівнянь системи зростає в 27 разів, що робить неефективним використання методу прогонки. Тому застосовують локальний одновимірний метод. Прирощення температури у вузлах Δt_j подається як сума трьох незалежних прирощень Δt_j1 ; Δt_j2 ; Δt_j3 . В розрахунку кожного з цих локальних прирощень приймають до уваги розподіл температури лише за відповідною координатою х_n :

.

Кожен ряд температур t_{in, j+1} розраховують методом прогонки.