3.3.5. Принципи оптимізації технічних систем

Оптимізація – це цілеспрямована діяльність на отриманню найкращих результатів за відповідних умов. Тобто, оптимальне – це можливо найкраще в конкретних умовах. Під оптимальним об’єктом або системою розуміють такі, яким тим або іншим способом надані найкращі якості в якому–небудь визначеному розумінні.

Задачі оптимізації – це задачі вишукування точок мінімумів або максимумів функцій на заданих множинах. Задачі оптимізації технічного об’єкту вирішуються як на стадії його розробки, так і під час експлуатації.

Постановка задачі оптимізації взагалі має сенс лише в разі, якщо є необхідність вибирати один з конкуруючих варіантів при обмеженості ресурсів. Технічний об’єкт або система завжди працюють в умовах жорстких обмежень на матеріальні, енергетичні, часові та інші види ресурсів. Вибір виконується з урахуванням правил переваги, в основі побудови яких лежить цільова функція.

Цільова функція – це показник, який кількісно відображує якість об’єкта в математичній формі. Вона ще називається критерієм оптимальності. Формування цільової функції виконується з урахуванням вихідних параметрів об’єкта. В залежності від умов якість об’єкта буде тим вищою, чим більше її значення (це задача максимізації) або чим менше (задача мінімізації). Оскільки вибір цільової функції носить суб’єктивний характер, тому об’єкт може бути оптимальним тільки в розумінні даного критерію.

Якість роботи будь – якої системи або об’єкту характеризується множиною вихідних параметрів або їх вектором У = (у₁, у₂,…, у_к). Частину вихідних параметрів можна виміряти кількісно (кількісні параметри), а частину – лише якісно (якісні параметри). Під вектором У, який використовується для формування цільової функції, розуміють лише кількісні параметри.

Деякі внутрішні параметри системи призначаються і не підлягають зміні. Наприклад, це параметри уніфікованих елементів; параметри, які заздалегідь задані. Інші параметри можна змінювати, вибирати. Внутрішні параметри, значення яких можуть змінюватися в процесі оптимізації і які є аргументами цільової функції, називають керованими параметрами.

Якщо в об’єкті є n керованих параметрів, то вони утворюють вектор Х = (х₁, х₂,…, х_n). Позначимо цільову функцію через F(X), а область її визначення через ХВ. Вектор Х визначає координати точки в області визначення ХВ. Якщо елементи вектора Х приймають тільки дискретні значення, то ХВ є дискретною множиною точок і задача оптимізації відноситься до області дискретного програмування. Більшість задач параметричної оптимізації вирішуються з неперервними параметрами. Якщо екстремум цільової функції шукають в необмеженій області ХВ, то його називають безумовним, а методи пошуку – методами безумовної оптимізації.

Дамо класичне визначення екстремуму, для чого наведемо спочатку поняття ε – околиці точки. ε – околицею точки Х_р називають множину S_ε(X) точок (векторів), які знаходяться від точки Х_р на відстані, яка не перевищує задане число ε > 0:

,

де - норма вектора Х – Х_р, яка є тотожною відстані між точками Х і Х_р.

Екстремумам функції F(X) називають таке значення F(X^*), коли для будь – якої точки Х Sε(X^*) при достатньо малому ε > 0, за виключенням самої точки Х^*, виконується нерівність:

• F(X) – F(X^*) < 0 для максимуму;

• F(X) – F(X^*) > 0 – для мінімуму.

Точку Х^* називають точкою локального екстремуму.

Глобальним екстремумом називають точку, в який цільова функція має найбільше (або найменше) значення серед всіх локальних екстремумів області визначення.

Функцію F(X) називають одноекстремальною або унімодальною , якщо вона має один екстремум, і багатоекстремальною, якщо вона має більше, ніж один максимум (мінімум). Відповідно, існують одно – та багатоекстремальні задачі оптимізації.