4.3. Оцінки характеристик змінних об’єкту

Оцінки математичного сподівання та дисперсії для дискретної випадкової величини визначаються за формулами:

; .

Знаменник вибіркової дисперсії дорівнює різниці між об’ємом вибірки N та числом зв’язків, які накладені на цю вибірку (кількість середніх величин). Цю різницю f називають числом ступенів свободи вибірки.

Для визначення точності оцінки величини а_N користуються довірчими інтервалами а_N ± ε, а для визначення надійності – довірчою надійністю Р_ε = Р(а_N – ε < а < а_N + ε), тобто невідоме значення параметру а з імовірністю Р_ε знаходиться в довірчому інтервалі а_N ± ε. В технічних розрахунках звичайно приймають Р_ε = 0,95 (95%).

Оцінка центральних моментів асиметрії та ексцесу розраховується за формулами:

; ;

; .

Розрахунок інтервальних оцінок для математичного сподівання та дисперсії змінної Х виконується за формулами:

; ,

де S_х – середньоквадратичне відхилення;

t_q – значення критерію Стьюдента (псевдонім англійського математика В. С. Госета), який знаходять з таблиць для f = N – 1 і рівня значимості q при певній довірчий імовірності Р; оскільки звичайно Р = 0,95, тому q = 0,05 (5%), якщо це не обговорено спеціально для конкретних досліджень;

- значення χ² – розподілу Пірсона для рівня значимості відповідно.

Приклад. В результаті 8 – міразового контролю складу продуктів згоряння на виході з агрегату отримано, що вміст оксидів азоту в них становить: 76,48; 76,43; 77,20; 76,45; 76,25; 76,48; 76,48; 76,60 . Визначити інтервальні оцінки дисперсії та математичного сподівання.

Рішення. Оцінки математичного сподівання та дисперсії:

; .

З таблиці розподілу Стьюдента для f = 8 – 1 = 7; q = 5% знаходимо t_q = 2,36; тоді інтервальна оцінка математичного сподівання:

; .

Для f = 7 з таблиці розподілу Пірсона знаходимо ; ; тоді інтервальна оцінка дисперсії:

; .

Перевірку гіпотези щодо відмінності середнього обчисленого від стандартного виконують за співвідношенням:

.

Різниця між стандартним значенням х₀ і середнім вибірковим є суттєвим при виконанні цього співвідношення.

Приклад. Температура в агрегаті, яку вимірювали еталонним термометром, складає х₀ = 1000⁰С. При вимірах її за допомогою інших термометрів отримані значення: 986; 1005; 991; 994; 983; 1002; 996; 998; 1002; 983⁰С. Чи суттєво відрізняється середнє значення вимірів цими термометрами від еталонного?

Рішення. Розрахуємо оцінки математичного сподівання, дисперсії та середньоквадратичного відхилення:

; ; .

Критерій Стьюдента для числа ступенів свободи f = 10 –1 = 9 і рівня значимості q = 5% знаходимо з таблиць: t_q = 2,23. Тоді маємо:

> .

Тобто, середнє значення вимірів суттєво відрізняється від стандартного.

Різні серії дослідів можуть бути виконані з різною якістю, тому виконують перевірку відмінності дисперсій в цих серіях. Припустимо, що маємо дві вибірки об’ємом N₁ та N₂, для яких визначені оцінки дисперсій S₁² та S₂². Ці дисперсії є однаковими, якщо виконується умова:

,

де S₁² > S₂² ;

F – критерій Фішера для числа ступенів свободи f₁ i f₂ та заданого рівня значимості q_задане.

Приклад. Порівняти точність аналізів вмісту кисню в продуктах згоряння, які виконані двома лаборантами. Лаборант А виконав 20 аналізів з результатами: 4,40; 4,56; 4,42; 4,59; 4,55; 4,45; 4,55; 4,39; 4,75; 4,72; 4,53; 4,66; 4,90; 4,50; 4,45; 4,66; 4,80; 4,36; 4,75; 4,22. Результати 13 аналізів лаборанта В: 4,42; 4,47; 4,70; 4,72; 4,53; 4,55; 4,60; 4,64; 4,29; 4,52; 4,57; 4,56; 4,66. Різницю точності аналізів визначити для 5% - ного рівня значимості.

Рішення. Розраховуємо оцінки математичного сподівання та дисперсії для кожної серії дослідів. Лаборант А:

; .

Лаборант В:

; ;

S₁² = 0,0295 > S₂² = 0,0139

Середні значення аналізів у обох лаборантів приблизно рівні, однак розсіювання результатів біля середніх значень є різним. Табличне значення критерію Фішера для f₁ = 20 – 1 = 19; f₂ = 13 – 1 = 12; q = 5% складає F = 2,50. Оскільки , то з імовірністю Р_ε = 95% можна стверджувати, що різниця в точності аналізів лаборантів А і В є несуттєвою.

В об’ємі вибірки можуть зустрічатися різко відмінні значення, які ще називають аномальними. Виявлення та виключення аномальних значень з вибірки здійснюється за наступною процедурою.

Спочатку знаходять максимальне відхилення від середнього:

Δ_max = x_max(min) - ,

де x_max(min) – аномальне значення в виборці.

Потім виконується оцінка:

│Δ_max │ > сS_x ,

де с – величина, яку знаходять зі співвідношення шляхом ітерацій.

Значення x_max(min) відкидається, якщо виконується наведена нерівність. Оцінка може проводитися багаторазово, середньоквадратичне відхилення S_х розраховують кожен раз за даними залишку вибірки.

Приклад. За даними аналізу продуктів згоряння отриманий вміст СО₂ в них: х₁ = 23,2; х₂ = 23,4; х₃ = 23,5; х₄ = 24,1; х₅ = 25,5%. Чи є значення х₅ аномальним і чи слід виключити його з вибірки?

Рішення. Обчислюємо оцінку математичного сподівання і максимальне відхилення у виборці:

; Δ_max =│25,5 – 23,55│ = 1,95%.

Оцінка дисперсії по залишку вибірки ( по чотирьом вимірам):

S_x² = ; S_x = 0,67.

Табличне значення t – критерію для q = 5%; N = 5; f = 5 – 1 = 4 складає t_q = 2,776. Зі співвідношення: методом ітерацій отримуємо: с = 1,67. Тоді припустиме відхилення:

СS_x = 1,67*0,67 = 1,12%.

Оскільки Δ_max > сS_x , то значення х₅ повинно бути виключено з вибірки.

Важливим практичним питанням, яке вирішується на стадії попереднього експерименту, є визначення необхідної повторності дослідів. Мінімально потрібна кількість паралельних дослідів визначається за наступною процедурою.

Для масиву дослідних даних попередніх N вимірів визначають середнє значення та середньоквадратичне відхилення:

; .

Потім знаходять гранично припустиме відхилення параметру від середнього для заданого рівня значимості q = 0,05:

Δ_гр = q .

Критерій Стьюдента t_0,05 для числа ступенів свободи f = N – 1 та рівня значимості q = 0,05 знаходять за допомогою таблиць і визначають різницю між стандартним середнім та обчисленим за вибіркою для даної кількості вимірів N:

δ =

Якщо δ < δ_гр , зменшують N, знаходять для нового N значення t_0,05 з таблиць і знову розраховують δ, поки δ не стане більшим за δ_гр . Найменше значення N, коли забезпечується умова δ < δ_гр , приймають за потрібну кількість паралельних вимірів (дослідів).

Приклад. Попередні N = 12 вимірів показали, відрив факелу при стабільних інших параметрах спостерігався при витраті палива на пальник х_u, : 105; 100; 100; 100; 102,5; 100; 97,5; 97,5; 102,5; 105; 102,5. Визначити необхідну повторність дослідів при дослідженні процесу стабілізації полум’я.

Рішення. Середня витрата палива та середньоквадратичне відхилення за результатами N = 12 дослідів:

= 101,25 ; S_x = 2,5 .

Гранично припустиме відхилення параметру від середнього при q = 0,05:

δ_гр = q = 101,25*0,05 = 5,063

Табличне значення t – критерію для f = N –1 = 12 – 1 = 11 і довірчої імовірності Р_ε = 95% з таблиць t_0,05 = 2,2.

Різниця між стандартним середнім та обчисленим за вибіркою:

δ = .

Отримане значення δ значно менш, ніж δ_гр, тому розрахуємо δ для менших значень N.

Для N = 6 значення t – критерію t_0,05 = 2,57 і δ = 2,623; для N = 4 t_0,05 = 3,38 і δ = 3,975; для N = 3 t_0,05 = 4,30 і δ = 6,207, що більш, ніж δ_гр. Відповідно, приймаємо чотириразову повторність вимірів.

Ще однією задачею попереднього експерименту є визначення закону розподілу випадкової величини. Звичайно перевіряють його нормальність, оскільки цей розподіл є домінуючим. Для цього будують гістограму. На вісі абсцис відкладають інтервали, які відповідають групам сукупності випадкової величини, і на кожному з них, як на основі, будують прямокутник. Височина його дорівнює частоті даної групи , де n_g – кількість вимірів в групі; N – загальна кількість вимірів, тобто об’єм вибірки.

Кількість груп вибирають таким чином, щоб результати вимірів були добре оглядові і утримували велику кількість відомостей. Алгоритм побудови гістограми наступний.

1. Діапазон зміни випадкової величини у виборці х_min x_max ділять на ε інтервалів; ε вибирають за емпіричною формулою:

ε = 1 + 3,2ln N .

Довжину інтервалів приймають однаковою:

Δg = .

2. Визначають число n_g (g = 1, 2, …, ε) елементів вибірки, які знаходяться в кожному інтервалі Δg , і відносну частоту попадання випадкової величини у відповідний інтервал:

Р_g = .

3. Отриманий варіаційний ряд записують в таблицю, причому елементам вибірки, які потрапили в g – тий інтервал, приписують середнє значення:

і будують гістограму Р_g → х_g-1 x_g.

Після побудови гістограми виконують перевірку нормальності закону розподілу вибірки за допомогою критеріїв згоди, які оцінюють розбіжності між теоретичними та емпіричними розподілами.

Критерій згоди Пірсона для варіаційного ряду розраховують за формулою:

,

де - імовірність попадання в g – тий інтервал, яка обчислюється за допомогою теоретичного розподілу:

;

Z_g – ліва границя g – того інтервалу відносно х в одиницях S_x:

Z_g = ;

Ф(Z) = – функція Лапласа, значення якої наведені в таблицях.

Найменше значення Z_g = Z_min замінюють на (- ∞), найбільше значення Z_g = Z_mах - на (+ ∞). Якщо , то розподіл є нормальним. Табличне значення визначають з таблиць для числа ступенів свободи f = ε – l –1, де l = 2 для нормального розподілу.

Приклад. Виконано 200 вимірів температури х в агрегаті. Відхилення температури від номінальної Х = 950⁰С складають х_min = - 20⁰C; х_mах = + 30⁰C. Діапазон відхилень розбитий на g = 10 інтервалів, які наведені в табл. 4.1. Точність вимірів складає ± 1⁰С. Визначити нормальність розподілу масиву.

Таблиця 4.1

Вихідні та розрахункові дані для визначення нормальності розподілу масиву

Рішення. Спочатку за вихідними даними визначаємо середнє значення в інтервалі х_g^* і відносну частоту Р_g, потім оцінку математичного сподівання, дисперсії та середньоквадратичного відхилення:

= 4,30⁰С; S_x² = 94,2(⁰C)²; S_x = 9,71⁰C.

Після цього розраховуємо нормовані значення випадкової величини Z_g і з таблиць знаходимо Ф₀(Z_g) з урахуванням того, що при Z_g < 0 Ф₀(Z_g) = - Ф₀(|Z_g|) . Після отримання та знаходимо значення критерію Пірсона = 7,09. Інтервали g = 10 та g = 9 можна об^/єднати з огляду на їх малу чисельність.

Кількість ступенів свободи вибірки складає f = 9 –2 = 6, табличний критерій Пірсона для f = 6; q = 0,05 складає χ_т² = 12,59. Оскільки χ_р² < χ_т² , то розглянута вибірка є нормальною.

За Р. Фішером треба розглядати два основних види відхилень від нормального закону розподілу. При одному з них розподіл даних за своєю формою є асиметричним або скошеним; у ньому середня і медіана не співпадають одна з одною (медіана – це серединне спостереження в ранжованому ряду даних). Другий вид відхилення характеризується деяким надлишком або недоліком спостережень, сконцентрованих в центрі ряду. Це ознака крутизни розподілу – гостро – або плосковершинність його.

Приклад. Виконувалися N = 11 вимірів концентрації оксидів азоту у продуктах спалювання палива на виході пальника Х, , результати яких наведені в табл. 4.2. Виконати перевірку масиву даних на скошеність.

Рішення. Розрахунок виконуємо в наступному порядку. Обчислюємо середнє значення змінної , її відхилення від середнього х, суми квадратів та кубів відхилень S₁ i S₂, а також середній квадрат та куб відхилень:

К₂ = ; К₃ = .

Таблиця 4.2

Вихідні та розрахункові дані для перевірки масиву на скошеність

Мірою скошеності є величина:

g₁=

Оскільки g₁ > 0, то це означає, що спостерігається надлишок даних в області менших від середнього значень. Якщо g₁ приймає негативне значення, то, навпаки, має місце надлишок даних в області більших від середнього значень. В разі g₁= 0 вибірка є симетричною.

Для перевірки значимості отриманої коефіцієнту g₁ знаходимо його дисперсію, середньоквадратичне відхилення (стандартну помилку) та розрахункове значення критерію Стьюдента:

S_g1² = ; S_g1 = 0,661;

t_р =

Табличне значення t – критерію вибирають для числа ступенів свободи f → ∞ та заданого рівня значимості q. Приймемо для даного прикладу q = 0,01 і з таблиць знаходимо t_т = 2,576. Оскільки t_т < t_р = 2,96, то можна казати про скошеність представленої вибірки, тобто про її асиметрію, з імовірністю 99%.

Крутизна розподілу вимірюється показником g₂ , заснованим на сумі четвертих ступенів відхилень від середнього S₄ :

К₄ = ; g₂ = .

Якщо g₂ дорівнює нулю, то відхилення від нормального розподілу немає. Позитивне g₂ вказує на надлишок спостережень біля середньої; негативне g₂ виникає при плосковершинності кривої розподілу.

Величину стандартної помилки та розрахунковий критерій Стьюдента розраховують за формулами:

S_g2 = ; t_p = .

Табличне значення t – критерію t_т приймають для числа ступенів свободи f → ∞ та заданого рівня значимості q. При перевищенні табличного значення t – критерію над розрахунковим (t_p < t_т) відхилення крутизни розподілу у виборці від нормального є несуттєвим.