3.3.6. Аналітична оптимізація об’єкту досліджень

Аналітична оптимізація передбачає використання необхідних та достатніх умов існування екстремуму цільової функції F(Х). Для цього необхідно, щоб цільову функцію векторного аргументу Х розмірності n можна було не менш, ніж двічі диференціювати.

Необхідною умовою наявності екстремуму в деякий точці Х^* = (х₁^*, х₂^*, …., х_n^*) є рівність нулю всіх часткових похідних цільової функції за незалежними параметрами:

……; .

Як відомо, градієнтом функції F(X) в будь – який точці Х називають n – вимірний вектор, компоненти якого дорівнюють частковим похідним функції F(X), які визначені в цій точці за всіма керованими параметрами.

Тобто, необхідну умову існування екстремуму або умову стаціонарності можна записати:

,

де ……; - градієнт цільової функції в точці Х^*.

Характер екстремуму функції в стаціонарній точці визначають за матрицею других похідних цільової функції (матриця Гесе або гесиан).

О

min F(X)

X Є XB

т

max F(X)

X Є XB

максимуму – негативність їх, де ХВ –область визначення функції.

Це достатня умова існування екстремуму.

Розглянемо приклади одно – та багатовимірної оптимізації з застосуванням необхідних і достатніх умов існування екстремуму.

Приклад 1. Зі зростанням продуктивності технологічного агрегату Р, , кількість шкідливих речовин, які викидаються в атмосферу, зростає за залежністю:

М = 5е^0,2Р, .

Визначити оптимальну за питомими викидами шкідливих речовин продуктивність агрегату.

Рішення. Критерієм оптимальності в даному випадку є питомі викиди шкідливих речовин з агрегату, які треба мінімізувати:

F(P) = .

Для визначення екстремальної точки візьмемо першу похідну сформованої цільової функції:

.

В точці екстремуму , звідки знаходимо значення Р в ній:

Р^* = = 5 .

Для визначення виду екстремуму знайдемо другу похідну цільової функції і її значення в цій точці:

;

.

Позитивність другої похідної свідчить про досягнення мінімуму цільової функції в знайденій точці екстремуму. Таким чином, при продуктивності агрегату Р^* = 5 кількість шкідливих викидів з агрегату в атмосферу у розрахунку на тону продукції, що випускається, буде мінімальною і становить:

F(P^*) = .

Приклад 2. Експериментально встановлено, що залежність кількості викидів пилу та газів з агрегату F, від параметрів технологічного процесу х₁, х₂, х₃ має вигляд:

F(х₁, х₂, х₃) = .

Виконати дослідження можливості мінімізації викидів пилу та газів за рахунок вибору оптимального співвідношення параметрів технології.

Рішення. Знайдемо часткові похідні цільової функції F за керованими параметрами технології:

; ; .

Прирівняємо знайдені часткові похідні нулю і визначимо координати точки екстремуму зі сформованої системи рівнянь:

; ; ; х₁^* = ; х₃^* = х₂^* = 2х₁^* = 1.

Для визначення характеру екстремуму знаходимо другі часткові похідні цільової функції і їх значення у визначеній точці:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Матриця других похідних цільової функції (гесіан):

Кутовий мінор першого порядку:

Δ₁ = 4 > 0

Кутовий мінор другого порядку:

Визначник матриці:

Зважаючи на позитивність кутових мінорів і гесіану, можна зробити висновок, що при параметрах технології х₁^* = ; х₃^* = х₂^* = 1 досягається мінімум викидів пилу та газів на рівні:

F(х₁^*, х₂^*, х₃^*) = = 4 .

Вихідне формулювання задачі оптимізації має, як правило, мовний опис. Процес оптимізації включає два етапи:

- постановка задачі, тобто формалізація поняття “оптимальний”;

- рішення задачі.

Звичайно, рішення задачі математичними методами можна виконувати лише після постановки.

Постановка задачі включає вибір цільової функції і керованих параметрів, призначення обмежень, нормування керованих і вихідних параметрів. Основну проблему постановки задачі містить формулювання цільової функції. Складність полягає у тому, що технічний об’єкт володіє властивістю багатокритеріальності, тобто, має декілька критеріїв оптимальності. Вихідні параметри є функціями одних і тих же керованих параметрів і не можуть змінюватися незалежно один від одного. Покращення одного з вихідних параметрів , як правило, призводить до погіршення іншого. Такі вихідні параметри називають конфліктними або конкуруючими.

Для рішення задачі оптимізації повинен дотримуватися принцип однозначності, тобто цільова функція повинна бути одна. Зведення багатокритеріальної задачі до однокритеріальної називають згорткою векторного критерію. В залежності від того, як здійснюється вибір і об^/єднання вихідних параметрів, тобто, як виконується згортка векторного критерію, розрізняють часткові, адитивні, мультиплікативні, мінімаксні, статистичні критерії.

Часткові критерії використовують, якщо з вихідних параметрів можна вибрати один провідний у_і(Х), який найбільш повно відображує ефективність роботи об’єкта. Наприклад, потужність, продуктивність, питома витрата енергоресурсів або сировини, викиди шкідливих речовин і т. д. На всі інші вихідні параметри накладають обмеження. Перевагою оптимізації за частковим критерієм є простота його формування.

Для формування зваженого адитивного критерію виділяють дві групи вихідних параметрів. До першої входять параметри, значення яких треба збільшувати у_j⁺(X) (наприклад, продуктивність, потужність тощо), а до другої – параметри, значення яких треба зменшувати у_j^-(X) (наприклад, питома витрата сировини або енергоносіїв, викиди шкідливих речовин тощо). Об^/єднання цих параметрів в одну цільову функцію (згортка векторного критерію) має вигляд адитивного критерію:

,

де а_j > 0 - ваговий коефіцієнт, який визначає важливість j – того параметра серед інших і призначається дослідником.

Мультиплікативний критерій у випадку мінімізації має вигляд:

Максимінні (мінімаксні) критерії дозволяють отримати найкращій результат за найгірших можливих умов. Прикладом може служити досягнення найкращого задоволення умов працездатності системи.

Позначимо запас працездатності параметра у_j через z_j:

,

де а_j – ваговий коефіцієнт;

ТВ_j та у_j(ном) – технічні вимоги до j – того вихідного параметра та його номінальне значення;

- величина, яка характеризує поле відхилень j – того параметра.

Якість роботи технічної системи характеризується m – вимірним вектором Z = (z₁, z₂,…, z_m). В якості цільової функції розглядається запас тільки того вихідного параметра, котрий в даній точці Х є найгіршим з позицій виконання умов працездатності:

.

В даному випадку стоїть задача пошуку Х, який дозволяє максимізувати мінімальний з запасів, оскільки саме він лімітує працездатність системи:

,

де ХП – припустима область пошуку.

Це приклад максимінного критерію.

Обмеження визначають можливість реалізації параметрів системи, обмеженість ресурсів і т. д. В деяких випадках накладення обмежень принципово необхідно. Наприклад, якщо цільова функція має вигляд:

F(x) = a + вх,

то при відсутності обмежень на х задача пошуку екстремального значення F(x) є некоректною. Обмеження звужують область визначення ХВ і екстремум стає умовним. Розрізняють прямі та функціональні обмеження.

Прямі обмеження мають вигляд:

х_ні ≤ х_і ≤ х_ві; і [1 : n],

де х_ні ; х_ві – мінімально та максимально припустимі значення і – того керованого параметра;

n – кількість керованих параметрів.

Наприклад, обмеження х_ні > 0 може характеризувати геометричні розміри, масу, які не можуть бути від^/ємними.

Функціональні обмеження можуть бути типу рівностей ψ(Х) = 0 і типу нерівностей φ(Х) > 0.

Обмеження формують припустиму область пошуку оптимуму ХП. Будь – яка точка Х ХП є припустимим рішенням і задачею оптимізації є визначення оптимального рішення серед припустимих.

При використанні пошукових методів перед проведенням пошуку оптимуму спочатку вибирають величину кроку по кожному з параметрів (норму), яка дорівнює відстані між двома точками. Керовані параметри мають звичайно різну розмірність, тому їх зводять до однієї розмірності або роблять безрозмірними. Таке нормування може здійснюватися, наприклад, за співвідношенням:

;

або способом логарифмування:

,

де β_і – коефіцієнт, який чисельно дорівнює одиниці параметру u_i .

Можливо також нормування за допомогою вагових коефіцієнтів а_і, як в адитивному критерії.

Математичне формулювання задачі безумовної оптимізації має вигляд:

.

Задача пошуку екстремуму цільової функції при наявності обмежень формулюється наступним чином:

при функціональних та прямих обмеженнях:

ψ(Х) = 0; φ(Х) > 0;

х_ні ≤ х_і ≤ х_ві; і [1 : n].

За властивістю двоїстості задача пошуку максимуму функції F(X) збігається із задачею пошуку мінімуму функції – F(X), та навпаки. Тобто , досить розглянути одну задачу – максимізації або мінімізації, а до задачі іншого типу легко перейти, якщо змінити знак функції на протилежний.

Точне аналітичне рішення задачі оптимізації можливо лише в окремих випадках для досить простих об’єктів. Інколи для таких об’єктів з одним керованим параметром задачу можна вирішити з деяким наближенням з використанням графоаналітичних або інших методів. Розглянемо постановку і рішення подібної задачі.

Приклад. Зі збільшенням міжремонтного періоду роботи технологічного агрегату показники його роботи погіршуються внаслідок зношування обладнання, зниження його експлуатаційних характеристик. Це призводить до зниження продуктивності, перевитрат сировини і енергоносіїв, зростання неконтрольованих викидів шкідливих речовин та інших негативних наслідків. Тому з визначеною періодичністю виконують відновлювальні ремонти агрегату.

Позначимо поточну продуктивність агрегату Р = f(τ) (рис. 3.31).

Тоді кількість продукції, що випускає агрегат під час експлуатації τ_е, буде пропорційною площі під кривою Р = f(τ):

.

Середня продуктивність агрегату за міжремонтний період:

.

Зі збільшенням міжремонтного періоду τ_е крива Р = f(τ) поступово наближується до вісі τ і продуктивність падає.

Зі скороченням міжремонтного періоду середня продуктивність агрегату під час роботи зростає. Але при цьому зростає кількість ремонтів і непродуктивні простої обладнання. Тому існує оптимальне співвідношення між тривалістю періоду роботи агрегату τ_е і тривалістю ремонту τ_р, яке відповідає максимуму середньої продуктивності за цикл “експлуатація – ремонт”:

.

Вид цієї цільової функції залежить від форми кривої Р = f(τ) для конкретного агрегату.

В якості прикладу припустимо, що тривалість ремонту деякого агрегату становить τ_р = 6 діб, а продуктивність його змінюється під час експлуатації за залежністю:

Р = 111,8е ^{– 0,00558τ}, .

Тоді його середня продуктивність за цикл:

.

Перша похідна цільової функції за керованим параметром:

Точне рішення рівняння для визначення координати точки екстремуму τ_е^* в даному випадку неможливо, тому вирішуємо його методом лінійної інтерполяції:

; ;

.

Позначимо різницю лівої та правої частини останнього рівняння через Δ і приймемо декілька значень τ_е:

- τ_е = 30 діб; Δ₃₀ = е^0,00558*30 – (1,03348 +0,00558*30) = - 0,01888;

- τ_е = 50 діб; Δ₅₀ = е^0,00558*50 – (1,03348 +0,00558*50) = + 0,00852;

- τ_е = 40 діб; Δ₄₀ = е^0,00558*40 – (1,03348 +0,00558*40) = - 0,00668

Тоді наближене значення координати оптимуму:

τ_е^* = 50 ≈ 44 доби.

Середня продуктивність при визначеному часі експлуатації буде:

.

Переконатися у тому, що знайдений екстремум є саме максимумом, можна шляхом обчислення цільової функції зліва і справа від τ_е^* . Наприклад, при τ_е = 40 діб і τ_е = 50 діб значення складають відповідно:

;

.

Слід зауважити, що подібні задачі є актуальними для визначення оптимального часу переключення регенераторів коксових і мартенівських печей, регенеративних колодязів з нагрівання на охолодження; адсорбційних апаратів уловлювання парогазових продуктів або шкідливих домішок з адсорбції на десорбцію; каталітичних реакторів періодичної дії з виконання технологічного процесу на регенерацію каталізатора та інших.