Вихідні дані до задачі про склад сировини

Рішення. Позначимо х₁, х₂, х₃ – кількість металу, скла та пластмаси, м². Задача формалізується наступним чином:

min F=25x₁+20x₂+40x₃

при обмеженнях:

10х₁+15х₂+3х₃ 150; (1)

х₁+х₂+х₃=14; (2)

х₁ 0; (3)

4 х₂ 5; (4)

х₃ 0. (5)

З рівняння (2) маємо:

х₁ = 14 - х₂ - х₃.

З нерівності (1) з урахуванням отриманого значення х₁ визначаємо х₃ :

х₁ 15 - 1,5х₂ - 0,3х₃; 14 - х₂ - х₃ 15 - 1,5х₂ - 0,3х₃; х₃ .

З (2) та (3) отримуємо:

х₁ = 14 - х₂ - х₃ 0; х₃ 14 - х₂ .

Множина припустимих рішень задачі показана на рис. 3.48.

Координати вершин багатокутника та значення цільової функції в них:

-а: х₂ = 4; х₃ = ; х₁ = 14 –4 - ; F=25* ;

-в: х₂ = 4; х₃ = 14 – 4 = 10; х₁ = 14 – 4 – 10 = 0; F=25*0+20*4+40*10=480;

-c: х₂ = 5; х₃ = 14 – 5 = 9; х₁ = 14 – 5 – 9 = 0; F = 25*0 + 20*5 + 40*9 = 460;

-d: x₂ = 5; х₃ = ; х₁ = 14 – 5 - ;

F = 25 + 20*5 + 40 = 357,14.

Тобто, найкращою є точка а з координатами:

х₁^* = ; х₂^* = 4; х₃^* = .

Третьою класичною задачею лінійного програмування є задача планування виробництва, де розглядається деяке підприємство, яке випускає n типів виробів і витрачає на них m типів ресурсів. Позначимо:

• а_ij – кількість і – того ресурсу для виробництва одиниці j – того виробу; а_ij ≥ 0; і = 1, 2,…,m; j = 1, 2,…, n;

• в_і – запас і – того ресурсу на підприємстві; в_і > 0;

• с_j – ціна одиниці j – того виробу; с_j > 0;

• х_j – об’єм виробництва j – того виробу, що планується.

Припускається, що технологія виробництва є лінійною, тобто витрати ресурсів зростають прямо пропорційно об’єму виробництва. Окрім того, немає обмежень щодо збуту виробів на ринку, тобто будь – який набір виробів даного підприємства користується попитом.

Припустимим є такий набір виробів, при якому сумарні витрати кожного і – того ресурсу не перевищують його запасу:

(1)

Окрім того, існує природно обмеження:

х_j ≥ 0. (2)

Вартість набору виробів становить:

. (3)

Задача формулюється наступним чином: серед всіх наборів виробів, які випускаються та задовольняють обмеженням (1) і (2), треба знайти такий, при якому величина (3) приймає найбільше значення.

Приклад. Підприємство випускає два види продукції А₁ та А₂ і використовує при виробництві кожного з них три види сировини В₁, В₂, В₃. Норми витрати сировини, об’єми її запасів і прибуток від реалізації 1 тони продукції кожного виду наведені в табл. 3.5. Треба скласти план виробництва продукції А₁ і А₂, який забезпечує максимум сумарного прибутку.

Таблиця 3.5