Современная (текущая) стоимость простого аннуитета

Под современной стоимостью денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Пример 1.12. Предположим, что мы должны выплачивать каждый год 1000 руб. на протяжении 4-х лет. Какой суммой в современных условиях мы должны обладать, чтобы выполнить эту задачу, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?

PV = 1000/l,1 + 1000/(l,1)² + 1000/(l,1)³ + 1000/(l,1)⁴ = 3169,87 руб.

Общее соотношение для определения современной (текущей) величины аннуитета имеет следующий вид:

PV_T = CF • ((1+r)^T – 1) / r• (1+r)^T = CF• (1-(1+r)^-T) / r

Выражение (1-(1+r)^-T) / r представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.

Для случая, когда выплаты сумм аннуитета производятся несколько раз в год и совпадают с начислением процентов во времени, удобно использовать соотношение вида: PV_T,m = CF • (1 - (1+r/m)^-mT) / r/m

Пример 1.13. Чему равна современная стоимость квартальных выплат по 1000 руб. в течение 5 лет, если альтернативная доходность равна 15% годовых?

Современная стоимость квартальных выплат по 1 руб. в течение 5 лет при

r = 0,15 (15% годовых) равна:

PV_5,4 = (1-(1+0,15/4)^-20)/0,15/4 = 13,8962 руб.

Для выплат в 1000 руб. современная стоимость аннуитета:

PV_5,4 = 1000•(1-(1+0,15/4)^-20)/0,15/4 = 13,8962 • 100 = 13896,2 руб.

Если известна будущая стоимость аннуитета FV, то при заданных T и r

CF = FV_T • r / ((1+r)^T - 1)

Выражение r / ((1+r)^T - 1) называют коэффициентом погашения или накопления, т.е. какую сумму надо вкладывать каждый год под r процентов годовых, чтобы через Т лет иметь в наличии сумму FV_T.

Исчисление продолжительности операции простого аннуитета

Соответственно, если неизвестной величиной является срок аннуитета Т, он определяется по формуле: T = lg ((FV_T/CF) • r + 1) / lg(1+r)

В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF и Т примут следующий вид:

CF = PV • r • (1+r)^T/(1-(1+r)^T) и Т = ln (1-(PV_t/CF) • r)^-1 / ln(1+r).

Выражение (1-(PV_t/CF) • r)^-1 называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала.