logo
Ценные бумаги практикум 78

Будущая стоимость элементарного потока платежей

Пример 1.2. Сумма в 10000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 1 год, ставка по депозиту – 10% годовых (r = 0,1), проценты по депозиту начисляются в конце срока. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000 руб., процентная ставка r = 0,1 (10% годовых) и срок T = 1 год.

Определим будущую величину вклада через год:

FV = PV + PV • r = PV• (1 + r) = 10000 • (1 + 0,1) = 11000 руб.

Пример 1.3. Сумма в 10000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 2 года. Ставка по депозиту – 10% годовых (r = 0,1). Проценты по депозиту начисляются раз в год в конце года и выплачиваются только по завершении срока депозита через 2 года. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000 руб., процентная ставка r = 0,1 (10% годовых) и срок T = 2 года.

Определим будущую величину вклада на конец первого периода:

FV1 = PV + PV • r = PV • (1 + r) = 10000• (1 + 0,1) = 11000 руб. – за год набежали проценты на сумму 1000 руб.

Соответственно в конце второго периода величина FV будет равна:

FV2 = FV1 + FV1• r = PV • (1 + r) + PV• (1 + r) • r = PV • (1 + r)2 =

= 10000• (1 + 0,1)2 = 12100 руб. – за 2 года проценты составили 2100 руб.

Общее соотношение для определения будущей величины через t периодов FVt имеет следующий вид: FVt = PV• (1 + r)t.

Величина FV существенно зависит от значений r и t. Например, будущая величина суммы всего в 1 руб. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45 руб.!

На практике в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае, соотношение для исчисления будущей стоимости при годовой процентной ставке r, при числе выплат в течение одного года m и в случае, если начисленные проценты не выплачиваются при их начислении, а только по окончании финансовой операции (т.е. прибавляются к основной сумме) – случай наращения с использованием сложных процентов, формула для расчетов FV при использовании формулы сложных процентов будет иметь следующий вид: FVmТ = PV• (1 + r/m)mT .

В этой формуле используется и формула простых процентов для расчетов внутри года – это выражается в определении процентов для выплат за один из m периодов – r/m.

Очевидно, что, чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы FV.

Пример 1.4. При рождении ребёнка отец положил в банк на депозит 150 000 руб. Проценты начисляются ежеквартально по ставке 11% годовых, снимать их до восемнадцатилетия ребёнка не предполагается. Какая сумма денег накопится на депозите к восемнадцатилетию ребёнка?

FV4,18 = 150 000 • (1 + 0,11/4)4•18 = 1 058 000 р.