Тема 9 Выборочное наблюдение

Цель: закрепление теоретических знаний и приобретение практических навыков решая некоторых расчетно-аналитических задач, научиться писать аналитические выводы.

ЗАДАЧА № 1

В населенном пункте проживает 10000 семьи. При использовании механической выборки необходимо определить часть семей с количеством детей трое и больше. Каким должно быть количество выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не была больше 0,02 семьи, если на основе предыдущих исследований известно, что в населенном пункте 20% семей имеют трех и более детей.

Решение:

При выборочной бесповторной выборке для расчета необходимой численности части с заданной точностью используется формула:

n = t²*w*(1-w)*N/D²w*N + t²*w*(1-w).

При заданной вероятности P=0,954 коэффициент доверия равняется t=2,0. Тогда часть у 20% семей (w=0,20) необходимое численность отбора будет:

n=(2,0)²*0,2*0,8*10000/(0,02)²*10000 + 4*0,2*0,8≈1379 (семей).

При повторном способе отбора численность выборки производится по формуле:

n=w*(1-w)*t²/Δ²w = 0,2*0,8*4/(0,02)²≈1600 (семей).

Выводы: В данном случае разность в результатах численности выборки в зависимости от способа отбора заметна.

Задача № 2

Допустим, что при 2% (N = 5000шт) случайной выборке у отобранных для исследования 100 деталей установлено, что средний вес одной детали 2500г, дисперсия 900, из 100 деталей 10 оказались бракованными. С вероятностью 0,954 установить границы среднего веса одной детали в генеральной совокупности, а с вероятностью 0,997 – границы качественных деталей в генеральной совокупности.

Решение

Определим граничную погрешность по формуле бесповторного отбора(г):

где:

N – количество единиц в генеральной совокупности;

- дисперсія;

t – коэффициент доверия. С помошью специальных таблиц находим что для вероятности 0,954 t=2, а для вероятности 0,997 t=3;

n – численность выборки.

Отсюда границы доверия генеральной совокупности:

Аналогично определяем границы для качественных деталей в генеральной совокупности:

где W = 90 / 100 = 0,9 ; выборочная часть качественных деталей.

Генеральная часть:

Значит границы части качественных деталей в генеральной совокупности:

Вывод: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес одной детали в генеральной совокупности находится в пределе от 2494 до 2506г; с вероятностью 0,997 можно гарантировать, что часть качественных деталей в генеральной совокупности находится в пределе от 81% до 99%.

ЗАДАЧА 3

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5%-я механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратичном отклонении 9 дней. В пяти счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней.

РЕШЕНИЕ

Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах

Так как выборка механическая, то ошибка выборки определяется по формуле:

– дисперсия выборочной совокупности

n – численность выборки

– выборочная средняя

коэффициент доверия, который определяется по интегральной функции Лапласа при заданной вероятности (P)

численность генеральной совокупности

дня

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что срок пользования краткосрочным периодом в банке находится в пределах = 30 дней ±2 дня, или 28 дней ≤32 дня.

Доля кредитов со сроком пользования более 60 дней находится в пределах

Выборочная доля составит

ω==0,05

Ошибку выборки для доли определяем по формуле

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредита в банке со сроком пользования более 60 дней будет находиться в пределах p=5%±4,2%, или 0,8%≤p≤9,2%.

Выводы: С вероятностью 0,954 можно утверждать, что срок пользования краткосрочным периодом в банке находится в пределах = 30 дней ±2 дня, или 28 дней ≤32 дня.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредита в банке со сроком пользования более 60 дней будет находиться в пределах p=5%±4,2%, или 0,8%≤p≤9,2%.