общая теория статистики Конспект 2011

Закон больших чисел.

Главным обобщением опыта исследования любых массовых явлений служит закон больших чисел. На массовые явления действуют постоянные факторы, оказывающие заметное воздействие, и факторы несущественные, не оказывающие заметного влияния. Единичные явления в значительно большей степени подвержены воздействию случайных и несущественных факторов, чем масса в целом. Отдельное единичное явление, рассматриваемое как одно из явлений данного рода, содержит в себе элемент случайного - оно могло быть или не быть, быть таким или иным. При соединении большого числа явлений случайность «исчезает» тем больше, чем больше «соединено» единичных явлений. Сущность закона больших чисел заключается в том, что в показателях, характеризующих результат наблюдений, проявляются определенные закономерности, которые не могут быть обнаружены на небольшом числе фактов.

Например, ожидать, что юноша будет жив через год, можно с большим основанием, чем для старца, если исключить несчастные случаи. Наблюдая массу людей разного возраста, можно видеть закономерные возрастные различия уровня смертности.

Математика (теория вероятности), рассматривая в чисто количественном аспекте закон больших чисел, выражает его целой цепью теорем. Они показывают, при каких условиях и в какой мере можно рассчитывать на отсутствие случайности в охватывающих массу характеристиках, как это связано с численностью рассматриваемых объектов. Статистика основывается на этих теоремах при изучении каждого конкретного массового явления.

Формулировка закона больших чисел - теорема Маркова: если число п случайных величин х₁, х₂,..., х_п, можно увеличивать беспредельно и дисперсия суммы этих величин подчиняется условию, что при возрастании п отношение стремится к нулю, то при достаточно большом числе этих величин будет сколь угодно близкой к достоверности вероятность того, что их среднее арифметическое отличается произвольно мало от среднего арифметического их математического ожидания.

Эта теорема утверждает, что если дисперсия (мера изменения величин) изменяется меньше, чем квадрат числа наблюдений при их увеличении, то среднее арифметическое сходится к определенной величине.

Закон больших чисел - это общий принцип, в силу которого количественные закономерности, присущие массовым явлениям, отчетливо проявляются лишь в достаточно большом количестве наблюдений.

Тенденции, вскрытые с помощью закона больших чисел, верны для массового явления, а не для отдельного случая. Закон больших чисел чаще всего проявляется в виде статистической закономерности.

Содержание