logo
Пол Хейне_Экономический образ мышления

Сегодняшняя ценность годовых выплат

Сколько будет готова заплатить фирма по производству мышеловок за патент, который, как ожидается, будет приносить дополнительные 200 тыс. долл. в год в течение следующих 17 лет? Очевидно, меньше, чем 17 умноженные на 200 тысяч, т. е. 3,4 млн. долл.

Если можно вложить деньги в государственные облигации, которые приносят 10% в год, инвестированные в них 3,4 млн. долл. будут ежегодно приносить 340 тыс. долл., что гораздо больше, чем 200 тыс. долл. в год. Более того, эти 340 тыс. долл. будут выплачиваться бесконечно долго, тогда как выплата 200 тыс. долл. прекратится через 17 лет. Поэтому производитель мышеловок, очевидно, не будет готов заплатить 3,4 млн. долл. за патент.

Максимальная сумма, которую будет готова заплатить фирма, - это сегодняшняя ценность двухсот тысяч долларов, которые будут выплачиваться в конце каждого года в течение 17 лет (для упрощения наших расчетов мы предполагаем, что все доходы мы получаем в конце года). Мы могли бы получить эту сумму, сложив первые семнадцать чисел из соответствующего столбца таблицы 11В и умножив результат на 200 тыс. долл. Таблица 11С позволяет нам сэкономить усилия. В строке, соответствующей семнадцати годам, приводится сегодняшняя ценность ежегодных выплат одного доллара в конце каждого из следующих 17 лет при различных ставках процента.

Таблица 11А. Сумма, до которой вырастет один доллар за указанное количество лет при ежегодном вложении процентов, при различных процентных ставках

Год

0.01

0.02

0.04

0.006

0.09

0.12

0.18

0.24

1

1.0100

1,0200

0.0400

1.0600

1.0900

1.1200

0.1800

1.2400

2

1.0201

1.0404

1.0816

1.1236

1.1881

1.2544

1.3924

1.5376

3

1.0303

1.0612

1.1240

1.1910

1.2950

1.4049

1,6430

1.9066

4

1.0406

1.0824

1.1699

1.2625

1.4116

1.5735

1.9388

2.3642

5

1.0510

1.1041

1.2167

1.3382

1.5386

1.7623

2.2878

2.9316

6

1.0615

1.1262

1.2653

1.4185

1.6771

1.9738

2.6996

3.6352

7

1.0721

1,1487

1.3159

1.5036

1.2880

2.2107

3.1855

4.5077

8

1.0829

1.1717

1.3686

1.5938

1.9926

2.4760

3.7589

5.5895

9

1.0937

1.1951

1.4233

1.6895

2.1719

2.7731

4.4355

6.9310

10

1.1046

1.2190

1,4802

1.7908

2.3674

3.1059

5.2338

8.5944

11

1 1157

1.2434

1.5395

1.8983

2.5804

3.4786

6.1759

10.6571

12

1.1268

1.2682

1.6010

2.0122

2.8127

3.8960

7.2876

13.2148

13

1.1391

1.2936

1.6651

2.1329

3.0658

4.3635

8.5994

16.3863

14

1.1495

1.3195

1.7317

2.2609

3.3417

4.8871

10.1473

20.3191

15

1.1610

1.3459

1.8009

2.3966

3.6425

5.4736

11.9738

25.1956

17

1.1943

1.4002

1.9479

2.6928

4.3276

6.8661

16.6723

38.7408

18

1.1961

1.4282

2,0258

2.8543

4.7171

7.6900

19.6733

48.0386

19

1.2081

1.4568

2,1068

3.0256

5.1417

8.6128

23.2145

59.5679

20

1.2202

1.4859

2.1911

3.2071

5.6044

9.6463

27.3931

73.8642

21

1.2324

1.5157

2.2788

3.3996

6.1088

10.8039

32.3238

91.5916

22

1.2447

1.5460

2.3699

3.6035

6.6586

12.1003

38.1421

113.5735

23

1.2572

1.5769

2.4647

3.8197

7.2579

13.5524

45.0077

140.8312

24

1.2697

1.6084

2.5633

4.0489

7.9111

15.1787

53.1091

174.6307

25

1.2824

1.6406

2,6658

4.2919

8.6231

17.0001

62.6688

216.5421

26

1.2053

1.7834

2.7725

4.5494

9.3991

19.0401

73.9491

268.5121

27

1.3082

1.7069

2.8834

48223

10.2451

21.3249

87.2600

332.9951

28

1.3213

1.7410

2.9987

5.1117

11.1671

23.8839

102.9668

412.8643

29

1.3345

1.7758

3,1186

5.4184

12.1722

26.7500

121.5008

511.9517

30

1.3478

1.8114

3,2434

3.7435

13.2677

29.9600

143.3710

634.8201

31

1.3613

1.8476

3.3731

6.0881

14.4617

33.5552

169.1777

787,1770

32

1.3749

1.8845

3,5081

6.4534

15.7633

37.5818

199.6298

976.0994

33

1.3887

1.9222

3,6484

6.8406

17.1820

42.0917

235.5631

1210.3633

34

1.4026

1.9607

3.7943

7.2510

18.7284

47.1427

277.9645

1500.8503

35

1.4166

1.9999

3.9461

7.6861

20.4139

52.7998

327.9982

1861.0544

36

1.43-9

2.0399

4.1039

8.1472

22.2512

59.1358

387.0378

2307.7075

37

1.4451

2.0807

4.2681

8.6361

24.2538

66.2321

456.7048

2861.5576

38

1.4595

2.1223

4.4388

9.1542

26.4366

74.1799

538.9116

3548.3315

39

1.4741

2.1647

4.6164

9.7035

28.8159

83.0815

635.9156

4399.9316

40

1.4889

2.2080

4.8010

10.2857

31.4094

93.0513

750.3806

5455.9140

41

1.5038

2.2522

4.9931

10.9028

34.2362

104.2175

885.4492

6765.3339

42

1.5188

2.2972

5.1928

11.5570

37.3175

116.7326

1044.8303

8389.0155

43

1.5340

2.3432

5.4005

12.2504

40.6760

130.7304

1232.8996

10402.3788

44

1.5493

2.3901

5.6165

12.9858

44.3369

146.4181

1454.8218

12898.9491

45

1.5648

2.4379

5.8412

13.7645

48.3272

163.9883

1716.6899

15994.6971

46

1.5805

2.4866

6.0748

14.5904

52.6766

183.6669

2025.6941

19833.4217

47

1.5963

2.5363

6.3178

15.4658

57.4175

205.7069

2390.3188

24593.4490

48

1.6122

2.5871

6.5705

16.3938

62.5851

230.3918

2820.5766

30495.8707

49

1.6283

2.6388

6.8333

17.3774

68.2177

258.0388

3328.2807

37814.8746

50

1.6446

2.6916

7.1067

18.4201

74.3573

289.0035

3927.3720

46890.4526

Таблица 11В. Сегодняшняя цена одного доллара, полученного через указанное количество лет, при дисконтировании по различным процентным ставкам

Год

0.01

0.02

0.04

0.006

0.09

0.12

0.18

0.24

1

0.9901

0.9804

0.9615

0.9434

0.9174

0.8929

0.8475

0.8065

2

0.9803

0.9612

0.9246

0.8900

0.8417

0.7972

0.7182

0.6504

3

0.9706

0.9423

0.8890

0.8396

0.7722

0.7118

0.6086

0.5245

4

0.9610

0.9238

0.8458

0.7921

0.7084

0.6355

0.5158

0.4230

5

0.9515

0.8057

0.8219

0.7473

0.7499

0.5674

0.4371

0.3411

6

0.9420

0.8880

0.7903

0.7050

0.5963

0.5066

0.3704

0.2851

7

0.9327

0.8708

0.7599

0.6651

0.5470

0.4523

0.3139

0.2218

8

0.9235

0.8535

0.7307

0.6274

0.5019

0.4039

0.2660

0.1789

10

0.9053

0.8203

0.6756

0.5584

0.4224

0.220

0.1911

0.1164

11

0.8963

0.8043

0.6496

0.5268

0.3875

0.2875

0.1619

0.0938

12

0.8874

0.7885

0.6246

0.4970

0.3555

0.2567

0.1372

0.0757

13

0.8787

0.7730

0.6006

0.4688

03262

0.2292

0.1163

0.0610

14

0.8700

0.7579

0.5775

0.4423

0.2992

0.2046

0.0985

0.0492

15

0.8613

0.7430

0.5553

0.4173

0.2745

0.1827

0.0835

0.0397

16

0.8528

0.7284

0.5339

0.3936

0.2519

0.1631

0.0708

0.0320

17

0.8444

0.7142

0.5134

0.3714

0.2311

0.1456

0.0600

0.0258

18

0.8360

0.7002

0.4936

0.3503

0.2120

0.1300

0.0508

0.0208

19

0.8277

0.6864

0.4746

0.3305

0.1945

0.1161

0.0431

0.0168

20

0.8195

0.6730

0.4564

0.3118

0.1784

0.1037

0.0365

0.0135

21

0.8114

0.6598

0.4388

0.2942

0.1637

0.0926

0.0309

0.0109

22

0.8034

0.6468

0.4220

0.2775

0.1502

0.0826

0.0262

0.0088

23

0.7954

0.6342

0.4057

0.2618

0.1378

0.0738

0.0222

0.0071

24

0.7876

0.6217

0.3901

0.2470

0.1264

0.0659

0.0188

0.0057

25

0.7798

0.6095

0.3751

0.2330

0.1160

0.0588

0.0160

0.0046

26

0.7720

0.5976

0.3607

0.2198

0.1064

0.0525

0.0135

0.0037

27

0.7644

0.5859

0.3468

0.2074

0.0976

0.-470

0.0115

0.0030

28

0.7568

0.5744

0.3335

0.1956

0.0895

0.0419

0.0097

0.0024

29

0.7493

0.5631

0.3207

0.1846

0.0822

0.0374

0.0082

0.0020

30

0.7419

0.5521

0.3083

0.1841

0.0754

0.0334

0.0070

0.0016

31

0.7346

0.5412

0.2965

0.1643

0.0691

0.0298

0.0059

0.0013

32

0.7273

0.5306

0.2851

0.1550

0.0634

0.0266

0.0050

0.0010

33

0.7201

0.5202

0.2741

0.1462

0.0582

0.0238

0.0042

0.0008

34

0.7130

0.5100

0.2636

0.1379

0.0534

0.0212

0.0036

0.0007

35

0.7059

0.5000

0.2534

0.1301

0.0490

0.0189

0.0030

0.0005

36

0.6989

0.4902

0.2437

0.1227

0.0449

0.0169

0.0026

0.0004

37

0.6920

0.4806

0.2343

0.1158

0.0412

0.0151

0.0022

0.0003

38

0.6852

0.4712

0.2253

0.1092

0.0378

0.0135

0.0019

0.0003

39

0.6784

0.4619

0.2166

0.1031

0.0347

0.0120

0.0016

0.0002

40

0.6717

0.4529

0.2083

0.0972

0.0318

0.0107

0.0013

0.0002

41

0.6650

0.4440

0.2003

0.0917

0.0292

0.0096

0.0011

0.0001

42

0.6584

0.4353

0.1926

0.0865

0.0268

0.0086

0.0010

0.0001

43

0.6519

0.4268

0.1852

0.0816

0.0246

0.0076

0.008

0.0001

44

0.6454

0.4184

0.1780

0.0770

0.0226

0.0068

0.0007

0.0001

45

0.6391

0.4102

0.1712

0.0727

0.0207

0.0061

0.0006

0.0001

46

0.6327

0.4022

0.1646

0.0685

0.0190

0.0054

0.0005

0.0001

47

0.6265

0.3943

0.1583

0.0647

0.0174

0.0049

0.0004

0.0000

48

0.6203

0.3865

0.1522

0.0610

0.0160

0.0043

0.0004

0.0000

49

0.6141

0.3790

0.1463

0.0575

0.0147

0.0039

0.0003

0.0000

50

0.6080

0.3715

0.1407

0.0543

0.0134

0.0035

0.0003

0.0000

Таблица 11С. Таблица ежегодных доходов: сегодняшняя цена одного доллара, получаемого в конце каждого года на протяжении указанного числа лет, при дисконтировании по различным процентным ставкам

Год

0.01

0.02

0.04

0.006

0.09

0.12

0.18

0.24

1

0.9901

0.9804

0.9615

0.0434

0.9174

0.8929

0.8475

0.8065

2

1.9704

1.0416

1.8861

1.8334

17591

1.6901

1.5656

1.4568

3

2.9410

2.8839

2.7752

2.6730

2.2513

2.4018

2.1743

1.9813

4

3.9020

3.8077

3.6299

3.4651

3.2397

3.0374

2.6901

2.4043

5

4.8534

4.7135

4.4518

4.2124

3.9907

3.6048

3.1272

2.7454

6

5.7955

5.6014

5.2421

4.9173

4.4859

4.1114

3.4976

3.0205

7

6.7282

6.4720

6.0021

5.5824

5.0329

4.5638

3.8115

3.2423

8

7.6517

7.3255

6.7327

6.2098

5.5348

4.9676

4.0776

3.4212

9

8.5660

8.1622

7.4353

6.8017

5.9952

5.3283

4.3030

3.5655

10

9.4713

8.9826

8.1109

7.3601

6.4177

5.6502

4.4941

3.6819

11

10.3676

9.7869

8.7605

7.8869

6.8052

5.9377

4.6560

3.7757

12

11.2250

10.5754

9.3851

8.3838

7.1607

6.1944

4.7932

3.8514

13

12.1337

11.3484

9.9856

8.8527

7.4869

6.4236

4.9095

3.9124

14

13.0037

12.1063

10.5631

9.2950

7.7861

6.6282

5.0081

3.9616

15

13.8650

12.8493

11.1184

9.7122

8.0607

6.8109

5.0916

4.0013

16

14.7178

13.5777

11.6523

10.1059

8.3126

6.9740

5.1624

4.0333

17

15.5622

14.2919

12.1657

10.4772

8.5436

7.1196

5.2223

4.0591

18

16.3982

14.9921

12.6593

10.8276

8.7556

7.2497

5.2732

4.0799

19

17.2260

15.6785

13.1339

11.1581

8.9501

7.3658

5.3162

4.0967

20

18.0455

16.3515

13.5903

11.4699

9.1285

7.4694

5.3527

4.1103

21

18.8569

17.0112

14.0292

11.7641

9.2922

7.5620

5.3837

4.1212

22

19.6603

17.6581

14.4511

12.0416

9.4424

7.6446

5.4099

4.1300

23

20.4558

18.2922

14.8568

12.3034

9.5802

7.7184

5.4321

4.1371

24

21.2433

18.9140

15.2470

12.5503

9.7066

7.7843

5.4509

4.1428

25

22.0231

19.5235

15.7221

12.7833

9.8226

7.9431

5.4669

4.1474

26

22.7951

20.1211

16.9828

13.0032

9.9290

8.8957

5.4804

4.1511

27

23.5595

20.7069

16.3296

13.2105

10.0266

7.9426

5.4919

4.1542

28

24.3164

21.2813

16.6631

13.4062

10.1161

7.9844

5.5016

4.1566

29

25.0657

21.8444

16.9837

13.5907

10.1983

8.0218

5.5098

4.1585

30

25.8076

22.3965

17.2920

13.7648

10.2737

8.0552

5.5168

4.1601

31

26.5422

22.9377

17.5885

13.9291

10.3428

8.0850

5.5227

4.1614

32

27.2695

23.4684

17.8736

14.0840

10.4062

8.1116

5.5277

4.1624

33

27.9896

23.9886

18.1476

14.2302

10.4644

8.1354

5.5320

4.1632

34

28.7026

24.4986

18.4112

14.3681

10.5178

8.1566

5.5356

4.1639

35

29.4085

24.9986

18.6646

14.4982

10.5668

8.1755

5.5386

1.1644

36

30.1074

25.4889

18.9083

14.6210

10.6118

8.1924

5.5412

4.1649

37

30.7994

25.9696

19.1426

14.7368

10.6530

8.2075

5.5434

4.1652

38

31.4846

26.4407

19.3679

14.8460

10.7908

8.2210

5.5452

4.1665

39

32.1629

26.9026

19.5845

14.9491

10.7255

8.2230

5.5468

4.1657

40

32.8346

27.3555

19.7928

15.0463

10.7574

8.2438

5.5482

4.1659

41

33.4996

27.7995

19.9930

15.1380

10.7866

8.2534

5.5493

4.1661

42

34.1580

28.2348

20.1856

15.2245

10.8134

8.2534

5.5493

4.1661

43

34.8099

28.6616

20.3708

15.3062

10.8379

8.2696

5.5510

4.1663

44

35.4554

29.0800

20.5488

15.3832

10.8605

8.2764

5.5517

4.1663

45

36.0944

29.4902

20.7200

15.4558

10.9912

9.2825

5.5523

4.1663

46

36.7271

29.8923

20.8847

15.5244

10.9002

8.2880

5.5528

4.1665

47

37.3536

30.2866

21.0429

15.5890

10.9176

8.2928

5.5532

4.1665

48

37.9739

30.6732

21.1951

15.6500

10.9336

8.2972

5.5536

4.1665

49

38.5880

31.0521

21.3415

15.7076

10.9482

8.3010

5.5539

4.1666

50

39.1960

31.4236

21.4822

15.7619

10.9617

8.3045

5.5541

4.1666

Однако какую ставку процента нам следует выбрать? Если такие наименее рискованные инвестиции, как государственные облигации, приносят доход в 10%, нам нет смысла выбирать ставку ниже 10%. С другой стороны, эти 10% на государственные облигации есть доход, приносимый фиксированным количеством долларов. Поэтому это номинальная, а не реальная норма дохода: доход здесь выражен в долларах, ценность которых может меняться, а не в реальной покупательной способности. Если ценность доллара будет, например, уменьшаться на 4% ежегодно, т. е., другими словами, темпы инфляции составят 4% в год, тогда при номинальной процентной ставке в 10% реальный доход составит только 6%. Государственные облигации приносили 10% годовых в 1985 г., когда писались эти строки, в основном из-за ожидания будущей инфляции. Инвесторы соглашались вкладывать деньги в долгосрочные государственные облигации, только если им обещали номинальную ставку процента, достаточную для компенсации инфляции, которая, как они боялись, будет происходить в течение срока погашения облигации.

Вполне можно полагать, что чистая выручка от производства мышеловок будет меняться вместе с изменениями темпов инфляции. Если цены на все удвоятся, то должна удвоиться и чистая выручка от производства мышеловок - при прочих равных условиях, что входит в наши предположения. Тогда, если мы будем дисконтировать ожидаемую чистую выручку от приобретения патента по ставке процента, в которую включена ожидаемая инфляция, то мы будем дважды учитывать рост цен. Более подходящей выглядит ставка в 6 или даже 4%.

Попробуем использовать ставку 4%. Какова сегодняшняя ценность 200 тыс. долл., которые будут выплачиваться в конце каждого из 17 последующих лет, если дисконт равен 4%? Таблица 11С утверждает, что 1 долл., выплачиваемый в течение 17 лет, имеет сегодняшнюю ценность в 12,1657 долл. Сегодняшняя ценность ежегодных выплат в 200 тыс. долл. составляет, таким образом, 2.433.140 долл.

Это существенно больше, чем оценка в полтора миллиона, сделанная нами ранее. Однако это наверняка слишком большая плата за патент, если только 200 тыс. долл. не являются практически гарантированным доходом. Если фирма, производящая мышеловки, захочет сыграть наверняка и предложит за патент только 2.095.440 долл., она будет дисконтировать ожидаемые будущие доходы, исходя из 6%.

При ставке дисконта 9% 200 тысяч в год в течение каждого из следующих 17 лет имеют сегодняшнюю ценность в 1.708.720 долл.

Проверьте эти результаты самостоятельно при помощи таблицы 11С. "Правильной" будет ставка процента, учитывающая субъективную оценку покупателем патента того риска, который связан с этой покупкой. Можно ли будет с помощью патента отстоять права производителя в суде? Не придумает ли кто-нибудь еще более усовершенствованную мышеловку? Не превратят ли новые методы уничтожения мышей все мышеловки в музейные экспонаты? Чем более неопределенным является ожидаемый доход, сегодняшнюю ценность которого мы пытаемся установить, тем по более высокой ставке процента мы будем его дисконтировать.

Последний вопрос: что произойдет с сегодняшней ценностью патента, если мы предположим, что его удастся возобновить после истечения срока еще на 17 лет? При дисконтировании из расчета 9% ежегодный доход в 200 тыс. долл. на протяжении 34 лет имеет сегодняшнюю ценность в 2.103.560 млн. долл. Обратите внимание, что это лишь на 400 тыс. долл. больше, чем ценность 17-летнего потока долларов. Это не должно вас удивлять. При дисконтировании из 9% сегодняшняя ценность одного доллара, который можно будет получить только через 18 лет, равна всего лишь 21 центу. А доллар через 34 года имеет сегодняшнюю ценность лишь в 5 1/3 цента.