7.2. Простые и сложные проценты

Наиболее важным элементом финансовых расчетов является доход, получаемый от произведенной сделки - так называемый процент или процентный доход. Это может быть доход от предоставления кредита, проведения брокерской операции с товаром или ценными бумагами и т.д.

При заключении сделки стороны договариваются о размере процентов, устанавливаемых отношением дохода от проведении сделки к общей сумме сделки, выплачиваемых в единицу времени. Получаемую величину называют декурсивной ставкой процента. Выражается она в виде десятичной или натуральной дроби.

Начисление процентов происходит в зависимости от условий соглашения, устанавливаемых периодом начисления - раз в год, полугодие, квартал, месяц.

Доход по процентам от заключенной сделки рассчитывается по следующей формуле:

I = i x P x n , (7.1)

где I - доход по процентам;

i - ставка процента;

P - первоначальный объем сделки (долга);

n - число периодов начислений.

Увеличение суммы денег по мере уплаты процентов называют наращиванием или ростом первоначальной суммы.

Процесс увеличения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией с общим членом:

P х (1 + n x i ) , (7.2)

где n - число периодов, через которое осуществляется выплата долга.

Процесс роста суммы долга по простым процентам графически изображается в виде прямой линии:

S

P_ni

P_2i

P

n21P

Рис. 7.1. Динамика простых процентов

На практике нередко процентная ставка меняется в зависимости от периода ее применения, в этом случае сумма долга рассчитывается по следующей формуле:

S = P (1 + ), (7.3)

где i_k - ставка простых процентов для периода k = 1,m;

n_k - продолжительность периода k.

Например: Фирма получила ссуду под капитальные вложения в размере 7000000 денежных ед. под 4% годовых на срок 4 года. В данном случае сумма, подлежащая к погашению к моменту истечения четырех лет, должна составить S = 7000000(1+4х0,04) = 8120000 ден.ед.

По прошествии четырех лет срок погашения был перенесен еще на два года с условием выплаты 10% годовых. Общая сумма долга должна уже достичь S = 7000000(1+4х0,04+2х0,10) = 9520000 ден.ед.

Ставки процентов по кредитам банков варьируют в зависимости от особенностей заемщика. Крупные банки в отношении надежных заемщиков определяют лучшие ставки, выступающие индикаторами в отношении к другим заемщикам. Такие ставки называют “прайм рейт” (prime rate). При установлении “прайм рейт” учитывается общехозяйственная конъюнктура, наличие денежных резервов и динамика конъюнктуры процентных ставок.

Часто заключаются сделки, в которых оговаривается изъятие суммы процентов из выдаваемой ссуды. По заданной сумме, которую следует уплатить через оговоренный в договоре срок, определяется размер ссуды при оговоренном ссудном проценте. В таком случае считается, что размер ссуды дисконтируется. Разность между суммой долга и размером ссуды называется дисконтом. В дисконтных расчетах используют математическое или банковское (коммерческое) дисконтирование, математическое дисконтирование применяют в сделках, при которых по сумме долга (сумме оплаты сделки), ссудной ставке (ставке дохода) следует определить первоначальный размер ссуды (объем сделки):

, (7.4)

где P - размер ссуды (объем сделки);

S - сумма долга (сумма оплаты сделки);

i - ссудная ставка (ставка дохода по сделке);

n - число периодов начисления процентов по сделке.

Величину Р называют учтенной или дисконтированной.

Например: 100 000 ден.ед. следует уплатить через 4 месяца из расчета простых ежемесячных 5%, при этом доход кредитора из ссуды изымается. В данном случае сумма ссуды должна составлять: Р = 100000 ден.ед./(1+4х0,05) = 83333 ден.ед.

Банковский (коммерческий) учет используется при операциях с векселями и другими краткосрочными обязательствами. В подобных операциях финансовый посредник покупает финансовое обязательство до наступления срока его платежа на сумму, меньшую той, по которой должна наступить оплата в определенный срок. Привлекательность данной операции для сторон заключается в том, что посредник таким образом реализует дисконт, а владелец обязательства имеет возможность получить долг раньше оговоренного срока.

При учете векселе банк начисляет проценты на сумму, которую должен выплатить должник в конце срока ссуды. Учетная ставка банка рассчитывается по формуле

d = (S - P)/ S , (7.5)

где d - учетная ставка банка;

S - сумма, подлежащая погашению по векселю;

P - сумма векселя.

При этом ставка процента по векселю

i = (S - P)/P , (7.6)

Из формул 6.5, 6.6 вытекает, что размер дисконта, удерживаемого банком за учет векселя, будет равен Snd, отсюда:

P = S -Snd = S(1-nd)

S = P/(1-nd) . (7.7)

Из формулы 6.6 вытекает, что при n > 1/d величина Р становится отрицательной, т.е. при большом сроке уплаты по векселю дисконт может привести к отрицательной сумме Р.

В практике долгосрочных расчетов происходит капитализация процентов по сделке. Их сумма прибавляется к первоначальной стоимости капитала и на следующем этапе расчетов полученный итог принимается за расчетную величину. Таким образом процесс наращивания первоначальной суммы идет с большим ускорением, чем при начислении простых процентов. На практике подобные расчеты производятся через определенные временные интервалы, т.е. применяются так называемые дискретные (декурсивные) проценты. Нетрудно убедиться, что рост по сложным процентам представляет собой геометрическую прогрессию с общим членом в виде:

P (1 + i ) ⁿ . (7.8)

Например: Заем в 1000 ден.ед. выдан на три года из ставки 17% годовых. Наращенная сумма на момент погашения составит S = 1000 ден.ед.(1+0,17) = 1000х1,6016 = 16016 ден.ед.

Исходя из 10.8 , наращенная сумма составит:

S = P (1 + i ) ⁿ . (7.9)

Геометрическую интерпретацию наращивания по простым и сложным процентам можно проиллюстрировать графиком:

S

S = P (1 + n*i) S

P

n21P

Рис. 7.2. Динамика сложных процентов

График показывает, что при n<1 наращивание по простым процентам происходит быстрее, чем по сложным. Чем больше n , тем быстрее происходит наращивание капитала.

Например: Капитал в 1000 ден.ед. при 5% сложных через 10 и 100 лет дает 1629 и 131500 ден. ед. соответственно.

Аналогично дисконтированию по простым процентам рассчитывается дисконт по сложным процентам:

, (7.10)

Выражение V= 1/ (1+ i ) ⁿ называется дисконтным множителем, после подстановки V в формулу 6.10 она преобразовывается:

P = S  V ⁿ . (7.11)

Дисконтирующие множители часто издаются в виде таблиц, что упрощает проведение расчетов. Таблицы для финансовых вычислений разработаны обычно до восьмого или десятого знака. При отсутствии табличных значений дисконтный множитель определяется путем логарифмирования.

Например: Требуется определить современную величину платежа для наращенной суммы в 1200 ден.ед., которая будет получена через три года при годовой процентной ставке, равной 10%:

ден.ед.

При банковском учете по сложным процентам используется формула:

P = S (1 - d) ⁿ , (7.12)

где Р - сумма векселя;

S - сумма будущего платежа;

(1 -d) ⁿ - дисконтный банковский множитель.

Сумма дисконта по сложным процентным ставкам определяется по формуле:

Д = S - P = S - S (1 - d) ⁿ = S [ 1 - (1 - d) ⁿ ] . (7.13)

В финансовых сделках при учете фактора инфляции сумму наращивания корректируют на величину, обратную индексу инфляции (если требуется определить реальную наращенную сумму в действующих ценах):

S’ = S  , (7.14)

где S’ - “реальная”, наращенная сумма с учетом инфляции;

k - темп инфляции.

Объединив формулы 10.10 и 10.14, получим выражение:

S’ = P  . (7.15)

Формула 6.15 описывает два процесса: один - наращение суммы, другой - ее обесценивание.

S’ составляет будущую наращенную сумму в действующих ценах. Например: Следует рассчитать реальную наращенную в течение пяти лет сумму долга с учетом инфляции при процентной ставке 5% годовых и предполагаемого годового уровня инфляции, равного 5,5%. Размер кредита равен 5000 ден.ед. В данном случае наращенная сумма долга будет равна S’ = 5000* *[ (1+0,05)/(1+0,055)] = 4882,6 ден.ед. То есть реально наращенная сумма с учетом инфляции меньше первоначального долга.

Анализ формулы 6.15 с точки зрения учета влияния изменения конъюнктуры процентных ставок и динамики инфляции позволяет сделать следующие выводы:

1. если i = k то наращение равно нулю;

2. если i > k , то первоначальная сумма возрастает на коэффициент превышения, равный w = (1+i)/(1+k);

3. если i < k , то первоначальная сумма уменьшится на коэффициент w = (1+i)/(1+k) . Такое конъюнктурное сочетание называется “эрозией” капитала.

Часто важное значение имеет определение наращенной суммы, которая учитывала бы рост инфляции и соответствовала будущим ценам. В этом случае:

S’’ = P  . (7.16)

S’’- наращенная сумма в предполагаемых ценах (скорректированная на уровень инфляции).